Comparer des nombres avec la fonction carré
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Pour comparer deux nombres $a$ et $b$ à l'aide de la fonction carré :
- Étape 1 : Déterminer le signe de $a$ et de $b$.
- Étape 2 : Utiliser les variations de la fonction carré :
- Si $a$ et $b$ sont positifs : la fonction carré est croissante, donc $a < b \Leftrightarrow a^2 < b^2$ (l'ordre est conservé).
- Si $a$ et $b$ sont négatifs : la fonction carré est décroissante, donc $a < b \Leftrightarrow a^2 > b^2$ (l'ordre est inversé).
- Si $a$ et $b$ sont de signes contraires : comparer directement $a^2$ et $b^2$ en les calculant.
Comparer des nombres positifs
Comparer $\sqrt{5}$ et $\sqrt{7}$ sans calculatrice.
Étape 1 : $\sqrt{5} > 0$ et $\sqrt{7} > 0$, les deux nombres sont positifs.
Étape 2 : La fonction carré est croissante sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$. On compare les carrés :
Comme $5 < 7$, on en déduit $\sqrt{5} < \sqrt{7}$.
Comparer des nombres négatifs
Comparer $-3\sqrt{2}$ et $-2\sqrt{5}$ sans calculatrice.
Étape 1 : $-3\sqrt{2} < 0$ et $-2\sqrt{5} < 0$, les deux nombres sont négatifs.
Étape 2 : La fonction carré est décroissante sur $\left]-\infty\,;\,0\right]$, donc l'ordre est inversé. On compare les carrés :
Comme $18 < 20$ et que la fonction carré est décroissante sur les négatifs, l'ordre est inversé :
$-3\sqrt{2} > -2\sqrt{5}$.
Remarque
Si les deux nombres sont de signes contraires, il n'est pas nécessaire de passer par la fonction carré : le positif est toujours plus grand que le négatif.
Attention
L'erreur la plus fréquente est d'oublier d'inverser l'ordre quand les deux nombres sont négatifs. Penser au tableau de variations : la fonction carré « descend » avant 0.