Déterminer la position relative des courbes

Pour déterminer la position relative des courbes $y = x$, $y = x^2$ et $y = x^3$ (pour $x > 0$) :

Étape 1 : Identifier l'intervalle dans lequel se trouve $x$ : est-ce que $0 < x < 1$ ou $x > 1$ ?
Étape 2 : Appliquer la règle :

Si $x > 1$ : $x < x^2 < x^3$, donc la courbe de $x^3$ est au-dessus de celle de $x^2$, elle-même au-dessus de la droite $y = x$.
Si $0 < x < 1$ : $x^3 < x^2 < x$, donc la droite $y = x$ est au-dessus de la courbe de $x^2$, elle-même au-dessus de celle de $x^3$.
Si $x = 0$ ou $x = 1$ : les trois courbes se croisent ($x = x^2 = x^3$).

Comparer $x$, $x^2$ et $x^3$ pour $x = 2$.

Étape 1 : On a $x = 2 > 1$.

Étape 2 : On calcule :

$x = 2 \quad;\quad x^2 = 4 \quad;\quad x^3 = 8$

On vérifie bien $x < x^2 < x^3$, c'est-à-dire $2 < 4 < 8$.

La courbe de $x^3$ est au-dessus de celle de $x^2$, qui est au-dessus de la droite $y = x$.

Comparer $x$, $x^2$ et $x^3$ pour $x = 0{,}5$.

Étape 1 : On a $0 < 0{,}5 < 1$.

Étape 2 : On calcule :

$x = 0{,}5 \quad;\quad x^2 = 0{,}25 \quad;\quad x^3 = 0{,}125$

On vérifie bien $x^3 < x^2 < x$, c'est-à-dire $0{,}125 < 0{,}25 < 0{,}5$.

La droite $y = x$ est au-dessus de la courbe de $x^2$, qui est au-dessus de celle de $x^3$.

Pour justifier ces résultats, on peut factoriser :

$x^2 - x = x\left(x - 1\right)$ : pour $x > 0$, le signe dépend de $x - 1$.
$x^3 - x^2 = x^2\left(x - 1\right)$ : pour $x > 0$, le signe dépend aussi de $x - 1$.

Ainsi la valeur $x = 1$ est le point de basculement.

Ces résultats ne sont valables que pour $x > 0$. Pour $x < 0$, la comparaison est différente car $x^3 < 0$ tandis que $x^2 > 0$.

Pour s'entraîner