Simplifier une expression contenant ln
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Pour simplifier une expression contenant des logarithmes népériens, on utilise les propriétés algébriques suivantes (avec $ a > 0 $, $ b > 0 $ et $ n \in \mathbb{Z} $) :
- $ \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) $
- $ \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) $
- $ \ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a) $
- $ \ln(a^{n}) = n\ln(a) $
- $ \ln\left(\sqrt{a}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(a) $
On décompose chaque terme à l'aide de ces propriétés, puis on regroupe ce qui peut l'être pour obtenir l'expression la plus simple possible.
Attention
Il n'existe aucune formule pour $ \ln(a + b) $ ni pour $ \ln(a - b) $ : ne jamais écrire $ \ln(a+b) = \ln(a) + \ln(b) $.
Avant d'écrire $ \ln(a) $, il faut s'assurer que $ a > 0 $.
Décomposer un logarithme en somme
Écrire $ \ln(45) $ en fonction de $ \ln(3) $ et $ \ln(5) $.
Étape 1 : décomposer $ 45 $ en produit de facteurs premiers.
$ 45 = 9 \times 5 = 3^{2} \times 5 $
Étape 2 : appliquer la propriété du produit.
$ \ln(45) = \ln(3^{2} \times 5) = \ln(3^{2}) + \ln(5) $
Étape 3 : appliquer la propriété de la puissance.
Regrouper plusieurs ln en un seul
Simplifier $ A = \ln(20) - 2\ln(2) + \ln(5) $.
Étape 1 : transformer $ 2\ln(2) $ en logarithme d'une puissance.
$ 2\ln(2) = \ln(2^{2}) = \ln(4) $
Étape 2 : regrouper en utilisant la propriété du quotient et du produit.
$ A = \ln(20) - \ln(4) + \ln(5) = \ln\left(\dfrac{20}{4}\right) + \ln(5) $
$ A = \ln(5) + \ln(5) = \ln(5 \times 5) = \ln(25) $
Étape 3 : conclure.
Simplifier avec une racine carrée
Simplifier $ B = \ln\left(\sqrt{e}\right) + \ln\left(\dfrac{1}{e^{3}}\right) $.
Étape 1 : traiter chaque terme séparément.
$ \ln\left(\sqrt{e}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(e) = \dfrac{1}{2} $
$ \ln\left(\dfrac{1}{e^{3}}\right) = -\ln(e^{3}) = -3\ln(e) = -3 $
Étape 2 : additionner les deux résultats.
Remarque
Pour repérer la propriété à utiliser, on observe la structure de l'expression :
- un produit dans le logarithme : on l'écrit comme une somme
- un quotient : on l'écrit comme une différence
- une puissance ou une racine : on la fait sortir en facteur multiplicatif
- plusieurs logarithmes à additionner avec le même coefficient : on les regroupe
Attention
La valeur de $ \ln(a) $ peut être négative lorsque $ 0 < a < 1 $ : par exemple, $ \ln(0{,}5) = -\ln(2) < 0 $. Cela ne signifie pas que la simplification est fausse.