Fonction logarithme népérien
Exercices
Calculs de valeurs et simplifications avec ln
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Calculer les valeurs exactes suivantes.
- $ \ln(1) $
- $ \ln(e) $
- $ \ln(e^{3}) $
- $ \ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right) $
- $ \ln(e^{2}) - \ln(e) $
Simplifier les expressions suivantes en une seule expression la plus simple possible.
- $ A = \ln(2) + \ln(3) $
- $ B = \ln(15) - \ln(5) $
- $ C = \ln(8) - 3\ln(2) $
- $ D = \ln(36) - \ln(4) - \ln(9) $
- $ E = 2\ln(5) + \ln(4) - \ln(100) $
Corrigé
On utilise les égalités $ \ln(1)=0 $, $ \ln(e)=1 $ et $ \ln(e^{n})=n $ pour tout entier $ n $.
- $ \ln(1)$ = $\mathbf{0}$.
- $ \ln(e)$ = $\mathbf{1}$.
- $ \ln(e^{3}) = 3\ln(e)$ = $\mathbf{3}$.
- $ \ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right) = -\ln(e)$ = $\mathbf{-1}$.
- $ \ln(e^{2}) - \ln(e) = 2 - 1$ = $\mathbf{1}$.
On utilise les propriétés $ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) $, $ \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b) $ et $ \ln(a^{n})=n\ln(a) $.
- $ A = \ln(2 \times 3) = \ln(6) $.
Donc $ A$ = $\mathbf{\ln(6)}$. - $ B = \ln\!\left(\dfrac{15}{5}\right) = \ln(3) $.
Donc $ B$ = $\mathbf{\ln(3)}$. - $ \ln(8) = \ln(2^{3}) = 3\ln(2) $, donc $ C = 3\ln(2) - 3\ln(2)$ = $\mathbf{0}$.
- $ D = \ln\!\left(\dfrac{36}{4 \times 9}\right) = \ln(1)$ = $\mathbf{0}$.
- $ 2\ln(5) = \ln(5^{2}) = \ln(25) $ et $ \ln(25) + \ln(4) = \ln(100) $.
Donc $ E = \ln(100) - \ln(100)$ = $\mathbf{0}$.
- $ A = \ln(2 \times 3) = \ln(6) $.