Résoudre une inéquation contenant ln
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- Déterminer le domaine de validité : toutes les expressions écrites dans un logarithme doivent être strictement positives. On résout les inéquations correspondantes pour trouver l'ensemble $ D $ des valeurs autorisées.
- Transformer l'inéquation : regrouper les logarithmes d'un côté à l'aide des propriétés algébriques pour aboutir à l'une des formes ci-dessous.
Utiliser la stricte croissance de ln :
- $ \ln(A) < \ln(B) \iff A < B $ (avec $ A > 0 $ et $ B > 0 $)
- $ \ln(A) < k \iff A < e^{k} $
- $ \ln(A) > k \iff A > e^{k} $
- Conclure : l'ensemble solution est l'intersection entre l'ensemble obtenu et le domaine de validité $ D $.
Attention
La fonction $ \ln $ est strictement croissante : le sens de l'inégalité est conservé. Ne jamais inverser l'inégalité en passant de $ \ln(A) < \ln(B) $ à $ A < B $.
Inéquation simple
Résoudre $ \ln(2x - 1) > 0 $.
Étape 1 : domaine de validité.
$ 2x - 1 > 0 \iff x > \dfrac{1}{2} $, donc $ D = \left]\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[ $.
Étape 2 : utiliser le fait que $ 0 = \ln(1) $.
$ \ln(2x - 1) > 0 \iff \ln(2x - 1) > \ln(1) $
Étape 3 : appliquer la croissance stricte de $ \ln $.
$ 2x - 1 > 1 \iff 2x > 2 \iff x > 1 $
Étape 4 : intersecter avec $ D $.
L'ensemble obtenu $ ]1\,;\,+\infty[ $ est inclus dans $ D $.
Inéquation avec exponentielle
Résoudre $ \ln(3 - x) \leqslant 2 $.
Étape 1 : domaine de validité.
$ 3 - x > 0 \iff x < 3 $, donc $ D = ]-\infty\,;\,3[ $.
Étape 2 : utiliser la forme exponentielle.
$ \ln(3 - x) \leqslant 2 \iff 3 - x \leqslant e^{2} $
Étape 3 : résoudre.
$ -x \leqslant e^{2} - 3 \iff x \geqslant 3 - e^{2} $
Étape 4 : intersecter avec $ D $.
On a $ 3 - e^{2} \approx 3 - 7{,}39 \approx -4{,}39 $. L'ensemble solution est l'intersection de $ [3 - e^{2}\,;\,+\infty[ $ avec $ ]-\infty\,;\,3[ $.
Inéquation après regroupement
Résoudre $ \ln(x) + \ln(x - 3) \leqslant \ln(4) $.
Étape 1 : domaine de validité.
$ x > 0 $ et $ x - 3 > 0 $, donc $ D = ]3\,;\,+\infty[ $.
Étape 2 : regrouper.
$ \ln(x) + \ln(x - 3) = \ln\bigl(x(x - 3)\bigr) $
L'inéquation devient $ \ln\bigl(x(x - 3)\bigr) \leqslant \ln(4) $.
Étape 3 : utiliser la croissance stricte.
$ x(x - 3) \leqslant 4 \iff x^{2} - 3x - 4 \leqslant 0 $
Étape 4 : résoudre l'inéquation du second degré.
Le discriminant vaut $ \Delta = 9 + 16 = 25 $, racines $ -1 $ et $ 4 $. L'expression est négative entre les racines :
$ x^{2} - 3x - 4 \leqslant 0 \iff -1 \leqslant x \leqslant 4 $
Étape 5 : intersecter avec $ D = ]3\,;\,+\infty[ $.
Remarque
Le rappel essentiel : $ \ln(x) > 0 \iff x > 1 $ et $ \ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1 $. Cette information sert souvent à étudier le signe d'une expression contenant $ \ln $.