Lire graphiquement la convexité d’une fonction
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Pour déterminer graphiquement la convexité d'une fonction, on dispose de trois lectures possibles selon la courbe fournie :
- Étape 1 : repérer ce que représente la courbe (celle de $f$, celle de $f^{\prime}$ ou celle de $f^{\prime\prime}$).
Étape 2 : appliquer le critère adapté.
- Sur la courbe de $f$ : $f$ est convexe sur les intervalles où la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes (ou « en forme de bol »), concave là où la courbe est au-dessous de toutes ses tangentes (ou « en bosse »).
- Sur la courbe de $f^{\prime}$ : $f$ est convexe là où $f^{\prime}$ est croissante, concave là où $f^{\prime}$ est décroissante.
- Sur la courbe de $f^{\prime\prime}$ : $f$ est convexe là où $f^{\prime\prime}$ est positive (courbe au-dessus de l'axe), concave là où $f^{\prime\prime}$ est négative.
- Étape 3 : repérer les points d'inflexion : sur la courbe de $f$, ce sont les points où la courbe traverse sa tangente ; sur la courbe de $f^{\prime}$, ce sont les abscisses où $f^{\prime}$ admet un extremum ; sur la courbe de $f^{\prime\prime}$, ce sont les abscisses où $f^{\prime\prime}$ s'annule en changeant de signe.
- Étape 4 : conclure en précisant les intervalles de convexité, de concavité, et les abscisses des points d'inflexion.
Lecture sur la courbe de f
La figure ci-dessous représente la courbe d'une fonction $f$ définie sur $[-2\,;\,3]$. Déterminer graphiquement les intervalles de convexité et de concavité de $f$.
Étape 1 : la courbe représente $f$ elle-même.
Étape 2 : on observe que la courbe est « en bosse » (concave) sur $[-2\,;\,1]$ et « en bol » (convexe) sur $[1\,;\,3]$.
Étape 3 : le point $A$ d'abscisse $1$ est l'endroit où la courbe change de courbure : c'est un point d'inflexion.
Étape 4 :
Lecture sur la courbe de la dérivée
On donne la courbe de la dérivée $f^{\prime}$ d'une fonction $f$ définie sur $[-3\,;\,3]$. Étudier graphiquement la convexité de $f$.
Étape 1 : la courbe est celle de $f^{\prime}$.
Étape 2 : on lit graphiquement les variations de $f^{\prime}$ :
- $f^{\prime}$ est décroissante sur $[-3\,;\,0]$, donc $f$ est concave sur cet intervalle.
- $f^{\prime}$ est croissante sur $[0\,;\,3]$, donc $f$ est convexe sur cet intervalle.
Étape 3 : $f^{\prime}$ admet un minimum en $x = 0$, donc $f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $0$.
Étape 4 :
Lecture sur la courbe de la dérivée seconde
On donne la courbe de $f^{\prime\prime}$ sur $[-2\,;\,3]$. Que peut-on dire de la convexité de $f$ ?
Étape 1 : la courbe représente $f^{\prime\prime}$.
Étape 2 : on étudie le signe graphique de $f^{\prime\prime}$ :
- $f^{\prime\prime}(x) \leqslant 0$ sur $[-2\,;\,1]$ (courbe sous l'axe), donc $f$ est concave.
- $f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0$ sur $[1\,;\,3]$ (courbe au-dessus de l'axe), donc $f$ est convexe.
Étape 3 : $f^{\prime\prime}$ s'annule en $x = 1$ et change de signe : la courbe de $f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $1$.
Étape 4 :
Remarque
Astuces visuelles :
- « Bol » à l'endroit (forme $\smile$) : convexe.
- « Bol » à l'envers ou « bosse » (forme $\frown$) : concave.
- Sur la courbe de $f^{\prime}$, suivre les variations.
- Sur la courbe de $f^{\prime\prime}$, suivre le signe (comparer à l'axe des abscisses).
Attention
Bien identifier ce que représente la courbe lue (énoncé). Confondre la courbe de $f$ avec celle de $f^{\prime}$ ou de $f^{\prime\prime}$ inverse complètement le raisonnement.
Sur la courbe de $f$, le « point le plus bas » d'une courbe convexe est un minimum, pas un point d'inflexion. Le point d'inflexion est le point où la concavité change de sens.