Étudier la continuité d’une fonction
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Pour montrer qu'une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ :
- Étape 1 : identifier la nature de $f$ (polynôme, rationnelle, racine, exponentielle, logarithme, somme, produit, quotient, composée…).
- Étape 2 : invoquer la continuité des fonctions de référence sur leur ensemble de définition.
- Étape 3 : utiliser les opérations sur les fonctions continues (somme, produit, quotient à dénominateur non nul) ou le théorème : « toute fonction dérivable sur $I$ est continue sur $I$ ».
- Étape 4 : conclure sur l'intervalle demandé.
Fonctions de référence continues sur leur ensemble de définition : polynômes (continues sur $\mathbb{R}$), rationnelles (continues sur chaque intervalle où le dénominateur ne s'annule pas), racine carrée (continue sur $[0\,;\,+\infty[$), exponentielle (continue sur $\mathbb{R}$), logarithme népérien (continue sur $]0\,;\,+\infty[$), sinus et cosinus (continus sur $\mathbb{R}$).
Fonction rationnelle
Étudier la continuité de $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$.
Étape 1 : $f$ est une fonction rationnelle.
Étape 2 : son ensemble de définition est $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ (le dénominateur s'annule en $3$).
Étape 3 : toute fonction rationnelle est continue sur chaque intervalle inclus dans son ensemble de définition.
Étape 4 : on conclut :
Fonction obtenue par opérations
Étudier la continuité de $g(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$.
Étape 1 : $g$ est un quotient de deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$.
Étape 2 : $x \mapsto e^x$ est continue sur $\mathbb{R}$ ; $x \mapsto x^2 + 1$ est continue sur $\mathbb{R}$ (polynôme).
Étape 3 : le dénominateur $x^2 + 1$ vérifie $x^2 + 1 \geqslant 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc il ne s'annule jamais. Le quotient de deux fonctions continues, à dénominateur non nul, est continu.
Étape 4 :
Continuité par dérivabilité
Étudier la continuité de $h(x) = x \ln x$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
Étape 1 : $h$ est le produit de $x \mapsto x$ (polynôme) et de $x \mapsto \ln x$ (fonction logarithme), toutes deux dérivables sur $]0\,;\,+\infty[$.
Étape 2 : le produit de deux fonctions dérivables est dérivable, donc $h$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$.
Étape 3 : toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue.
Étape 4 :
Remarque
En pratique, presque toutes les fonctions rencontrées en Terminale (polynômes, rationnelles, exponentielles, logarithmes, racines, et leurs combinaisons) sont continues sur leur ensemble de définition. Il suffit le plus souvent d'invoquer ce résultat sans détailler.
Le théorème « dérivable $\Rightarrow$ continu » est souvent le plus rapide quand la dérivabilité a déjà été établie ailleurs dans l'exercice.
Attention
La réciproque « continu $\Rightarrow$ dérivable » est fausse. La fonction $x \mapsto |x|$ est continue sur $\mathbb{R}$ tout entier, mais elle n'est pas dérivable en $0$.
Bien préciser l'intervalle sur lequel on conclut. Une fonction rationnelle peut être continue sur deux intervalles disjoints sans être continue sur leur réunion (par exemple $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ n'est pas un intervalle).