Justifier la continuité d’une fonction
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Pour chacune des fonctions suivantes, justifier sa continuité sur l'intervalle indiqué.
- $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$.
- $g$ définie sur $\,]3\,;+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$.
- $h$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $h(x) = \sqrt{x} + e^x$.
- $k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x) = \dfrac{x^2 + 1}{e^x + 2}$.
Corrigé
On rappelle que les fonctions polynômes, rationnelles, racine carrée, sinus, cosinus et exponentielle sont continues sur leur ensemble de définition. La continuité est conservée par somme, produit et quotient (sous réserve de non-annulation du dénominateur).
$f$ est une fonction polynôme. Or toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$.
Donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
$g$ est une fonction rationnelle, quotient de deux polynômes. Son ensemble de définition est $\mathbb{R} \setminus \{3\}$. Sur l'intervalle $\,]3\,;+\infty[$, le dénominateur $x - 3$ ne s'annule pas.
Donc $g$ est continue sur $\,]3\,;+\infty[$.
La fonction racine carrée est continue sur $[0\,;+\infty[$ et la fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$, donc en particulier sur $[0\,;+\infty[$. La somme de deux fonctions continues sur un intervalle l'est aussi.
Donc $h$ est continue sur $[0\,;+\infty[$.
La fonction $x \mapsto x^2 + 1$ est polynômiale, donc continue sur $\mathbb{R}$. La fonction $x \mapsto e^x + 2$ est la somme d'une fonction continue sur $\mathbb{R}$ (l'exponentielle) et d'une fonction constante : elle est continue sur $\mathbb{R}$.
De plus, $e^x > 0$ pour tout réel $x$, donc $e^x + 2 > 2 > 0$ : le dénominateur ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.
Le quotient de deux fonctions continues sur $\mathbb{R}$ dont le dénominateur ne s'annule pas est continu sur $\mathbb{R}$.
Donc $k$ est continue sur $\mathbb{R}$.