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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites - Bac ES/L Pondichéry 2013

Exercice 3   (5 points)

Commun à tous les candidats

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3000 euros à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.

On note CnC_{n} le capital du client au 1er janvier de l'année 2000+n2000+n, où nn est un entier naturel.

  1. Calculer C1C_{1} et C2C_{2}. Arrondir les résultats au centime d'euro.

  2. Exprimer Cn+1C_{n+1} en fonction de CnC_{n}. En déduire que, pour tout nombre entier naturel nn, on a la relation :

    Cn=3000×1,025n.C_{n}=3000 \times 1,025^{n}.

  3. On donne l'algorithme suivant :

    Entrée Saisir un nombre SS supérieur à 3000
    Traitement Affecter à nn la valeur 00.
    Affecter à UU la valeur 3000
    Tant que USU\leqslant S
    \qquad nn prend la valeur n+1n+1
    \qquad UU prend la valeur U×1,025U \times 1,025
    Fin tant que
    Sortie Afficher le nombre 2000+n2000+n

    1. Pour la valeur S=3300S=3300 saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l'unité.

      Valeur de nn 00 11 . . . . . .
      Valeur de UU 3000   . . .  . . . . . .
      Condition USU\leqslant S vrai . . .   . . . . . .

    2. En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de SS saisie est 3300.

    3. Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre SS supérieur à 3000.

  4. Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d'une somme de 5000 euros. Montrer que le capital de son placement n'est pas suffisant à cette date.

    Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10.

Corrigé

  1. C1=(1+t100)×C0=1,025×3000=3075C_{1}=\left(1+\frac{t}{100}\right)\times C_{0}=1,025\times 3000=3075

    C2=1,025×C1=1,025×3075=3151,88C_{2}=1,025\times C_{1}=1,025\times 3075=3151,88 à 0,010,01 près.

  2. Pour tout entier naturel nn :

    Cn+1=1,025×CnC_{n+1}=1,025\times C_{n}

    La suite (Cn)\left(C_{n}\right) est une suite géométrique de premier terme C0=3000C_{0}=3000 et de raison q=1,025q=1,025.

    Cn=C0×qn=3000×1,025nC_{n}=C_{0}\times q^{n}=3000\times 1,025^{n}

    1. Valeur de nn 0 1 2 3 4
      Valeur de UU 3000 3075 3151,88 3230,67 3311,44
      Condition USU\leqslant S vrai vrai vrai vrai faux

    2. La boucle s'arrête pour n=4n=4 et le programme se termine après avoir affiché la valeur 2004.

    3. L'algorithme affiche l'année à partir de laquelle le capital sera strictement supérieur à SS.

  3. Le capital au 1er janvier 2013, correspond à C13C_{13}.

    C13=3000×1,025134135,53C_{13}=3000\times 1,025^{13}\approx 4135,53.

    Ce capital est donc inférieur à 5000 euros.

    Le capital initial est multiplié par 10 dès que 1,025n101,025^{n}\geqslant 10.

    La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[, cette équation équivaut à

    ln(1,025n)ln(10)\ln\left(1,025^{n}\right)\geqslant \ln\left(10\right)

    n×ln(1,025)ln(10)n\times \ln\left(1,025\right)\geqslant \ln\left(10\right)

    nln(10)ln(1,025)n\geqslant \frac{\ln\left(10\right)}{\ln\left(1,025\right)} car ln(1,025)>0\ln\left(1,025\right) > 0

    Comme ln(10)ln(1,025)93,25\frac{\ln\left(10\right)}{\ln\left(1,025\right)}\approx 93,25 le capital sera multiplié par 10 à compter du 1er janvier 2094.