Calculer une limite avec ln
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On dispose des limites de référence suivantes :
Limites usuelles :
- $ \displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \ln(x) = -\infty $
- $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty $
Croissances comparées :
- $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0 $ : en $ +\infty $, $ x $ « l'emporte » sur $ \ln(x) $
- $ \displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x\ln(x) = 0 $ : en $ 0^{+} $, $ x $ « l'emporte » sur $ \ln(x) $
Démarche en cas de forme indéterminée du type $ +\infty - \infty $ ou $ 0 \times \infty $ :
- Repérer la forme indéterminée qui apparaît dans le calcul direct.
- Factoriser par le terme dominant pour faire apparaître l'une des limites de référence ci-dessus.
- Conclure par produit ou par somme.
Limite directe
Calculer $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(2x + 5) $.
Étape 1 : poser $ u(x) = 2x + 5 $.
Quand $ x \to +\infty $, $ u(x) \to +\infty $.
Étape 2 : composer avec la limite usuelle de $ \ln $ en $ +\infty $.
Forme indéterminée +∞ − ∞
Calculer $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \bigl(x - 2\ln(x)\bigr) $.
Étape 1 : identifier la forme indéterminée.
$ x \to +\infty $ et $ 2\ln(x) \to +\infty $, c'est une forme $ \infty - \infty $.
Étape 2 : factoriser par le terme dominant $ x $.
$ x - 2\ln(x) = x\left(1 - \dfrac{2\ln(x)}{x}\right) = x\left(1 - 2 \times \color{red}{\dfrac{\ln(x)}{x}}\right) $
Étape 3 : utiliser la croissance comparée $ \dfrac{\ln(x)}{x} \to 0 $.
Le facteur entre parenthèses tend vers $ 1 - 2 \times 0 = 1 $.
Étape 4 : conclure par produit.
$ x \to +\infty $ et le facteur tend vers $ 1 $, donc :
Forme indéterminée 0 × ∞
Calculer $ \displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{2}\ln(x) $.
Étape 1 : identifier la forme indéterminée.
$ x^{2} \to 0 $ et $ \ln(x) \to -\infty $, c'est une forme $ 0 \times \infty $.
Étape 2 : écrire pour faire apparaître $ x\ln(x) $.
$ x^{2}\ln(x) = x \times \color{red}{x\ln(x)} $
Étape 3 : utiliser la croissance comparée $ x\ln(x) \to 0 $ en $ 0^{+} $.
$ x \to 0 $ et $ x\ln(x) \to 0 $, donc par produit :
Limite avec un quotient
Calculer $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x + \ln(x)}{x} $.
Étape 1 : séparer le quotient.
$ \dfrac{x + \ln(x)}{x} = \dfrac{x}{x} + \dfrac{\ln(x)}{x} = 1 + \dfrac{\ln(x)}{x} $
Étape 2 : utiliser la croissance comparée.
$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0 $
Étape 3 : conclure par somme.
Remarque
Les croissances comparées se généralisent : pour tout entier $ n \geqslant 1 $,
- $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^{n}} = 0 $
- $ \displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{n}\ln(x) = 0 $
Toute puissance positive de $ x $ « l'emporte » sur $ \ln(x) $.
Attention
Une forme du type $ +\infty - \infty $ ne se traite jamais directement : il faut toujours factoriser par le terme dominant avant d'appliquer une limite de référence.