Calculer la limite à l’infini d’une fonction rationnelle
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Pour calculer la limite en $\pm\infty$ d'une fonction rationnelle $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ :
- Étape 1 : repérer les termes dominants $a x^p$ du numérateur et $b x^q$ du dénominateur.
- Étape 2 : factoriser numérateur et dénominateur par leur terme dominant respectif.
- Étape 3 : simplifier la fraction : il reste un quotient des termes dominants multiplié par un facteur qui tend vers $1$.
- Étape 4 : calculer la limite de ce quotient simplifié.
Règle pratique : la limite à l'infini d'une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.
Degré du numérateur égal à celui du dénominateur
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 + 5x - 1}{x^2 - 4}$.
Étape 1 : le terme dominant du numérateur est $3x^2$, celui du dénominateur est $x^2$.
Étape 2 : on factorise :
$\dfrac{3x^2 + 5x - 1}{x^2 - 4} = \dfrac{x^2 \left(3 + \dfrac{5}{x} - \dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2 \left(1 - \dfrac{4}{x^2}\right)}$.
Étape 3 : on simplifie par $x^2$ :
$\dfrac{3x^2 + 5x - 1}{x^2 - 4} = \dfrac{3 + \dfrac{5}{x} - \dfrac{1}{x^2}}{1 - \dfrac{4}{x^2}}$.
Étape 4 : le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur tend vers $1$, donc par quotient :
Degré du numérateur supérieur à celui du dénominateur
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^3 - 2x}{x^2 + 1}$.
Étape 1 : terme dominant du numérateur : $x^3$ ; terme dominant du dénominateur : $x^2$.
Étape 2 : après factorisation et simplification, on obtient :
$\dfrac{x^3 - 2x}{x^2 + 1} = \dfrac{x^3}{x^2} \times \dfrac{1 - \dfrac{2}{x^2}}{1 + \dfrac{1}{x^2}} = x \times \dfrac{1 - \dfrac{2}{x^2}}{1 + \dfrac{1}{x^2}}$.
Étape 3 : le facteur de droite tend vers $\dfrac{1}{1} = 1$.
Étape 4 : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x = -\infty$ et le facteur tend vers $1 > 0$, donc par produit :
Degré du numérateur inférieur à celui du dénominateur
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 5}{x^2 - 3x}$.
Termes dominants : $2x$ au numérateur, $x^2$ au dénominateur. Après factorisation :
$\dfrac{2x + 5}{x^2 - 3x} = \dfrac{2x}{x^2} \times \dfrac{1 + \dfrac{5}{2x}}{1 - \dfrac{3}{x}} = \dfrac{2}{x} \times \dfrac{1 + \dfrac{5}{2x}}{1 - \dfrac{3}{x}}$.
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x} = 0$ et le facteur tend vers $1$, donc par produit :
Remarque
Trois cas à retenir, en notant $p$ le degré du numérateur et $q$ celui du dénominateur :
- $p = q$ : la limite est le quotient des coefficients dominants.
- $p > q$ : la limite est $\pm\infty$ (signe à déterminer selon les coefficients et le signe de $\infty$).
- $p < q$ : la limite est $0$.
Attention
L'écriture $\dfrac{\infty}{\infty}$ est une forme indéterminée : sans factorisation, la limite n'est pas connue.
Pour appliquer la règle pratique, simplifier d'abord la fraction $\dfrac{a x^p}{b x^q}$ en $\dfrac{a}{b} x^{p-q}$ avant de passer à la limite.