Limites de fonctions rationnelles

Chaque limite présente une forme indéterminée du type $\dfrac{\infty}{\infty}$. On la lève en factorisant numérateur et dénominateur par leur terme de plus haut degré, puis en simplifiant.

1. Numérateur et dénominateur ont $x^2$ pour terme dominant :
   $\dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 5} = \dfrac{x^2 \left(2 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2 \left(1 + \dfrac{5}{x^2}\right)} = \dfrac{2 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{1 + \dfrac{5}{x^2}}$.

   Or $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(2 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right) = 2$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{5}{x^2}\right) = 1$.

   Par quotient : $\mathbf{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 5} = 2}$.

2. Le terme dominant du numérateur est $x^3$, celui du dénominateur est $x^2$ :
   $\dfrac{x^3 + 2x}{x^2 - 1} = \dfrac{x^3 \left(1 + \dfrac{2}{x^2}\right)}{x^2 \left(1 - \dfrac{1}{x^2}\right)} = x \times \dfrac{1 + \dfrac{2}{x^2}}{1 - \dfrac{1}{x^2}}$.

   Or $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{1 + \dfrac{2}{x^2}}{1 - \dfrac{1}{x^2}} = 1$.

   Par produit : $\mathbf{\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^3 + 2x}{x^2 - 1} = -\infty}$.

3. Le terme dominant du numérateur est $4x$, celui du dénominateur est $2x^2$ :
   $\dfrac{4x - 1}{2x^2 + 3x} = \dfrac{x \left(4 - \dfrac{1}{x}\right)}{x^2 \left(2 + \dfrac{3}{x}\right)} = \dfrac{1}{x} \times \dfrac{4 - \dfrac{1}{x}}{2 + \dfrac{3}{x}}$.

   Or $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4 - \dfrac{1}{x}}{2 + \dfrac{3}{x}} = \dfrac{4}{2} = 2$.

   Par produit : $\mathbf{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x - 1}{2x^2 + 3x} = 0}$.

Pour réviser : Calculer la limite à l'infini d'une fonction rationnelle