Résoudre f(x) = 0 et dresser le tableau de signes
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Créer un compte1 - Résoudre $f(x) = 0$
Méthode
Pour résoudre $ax + b = 0$ avec $a \neq 0$ :
- Étape 1 : Isoler le terme en $x$ : $ax = -b$
- Étape 2 : Diviser par $a$ : $x = -\dfrac{b}{a}$
La fonction $f$ s'annule en $x_0 = -\dfrac{b}{a}$.
Résoudre 3x - 6 = 0
On résout $f(x) = 0$ pour $f(x) = 3x - 6$.
Étape 1 : $3x = 6$
Étape 2 : $x = \dfrac{6}{3} = 2$
La fonction $f$ s'annule pour $\mathbf{x = 2}$.
Avec des fractions
On résout $g(x) = 0$ pour $g(x) = -\dfrac{2}{3}x + 4$.
Étape 1 : $-\dfrac{2}{3}x = -4$
Étape 2 : $x = -4 \times \left(-\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{12}{2} = 6$
La fonction $g$ s'annule pour $\mathbf{x = 6}$.
2 - Dresser le tableau de signes
Méthode
Pour dresser le tableau de signes de $f(x) = ax + b$ avec $a \neq 0$ :
- Étape 1 : Calculer la racine $x_0 = -\dfrac{b}{a}$
- Étape 2 : Déterminer le signe de $a$
- Étape 3 : Compléter le tableau : $f(x)$ est du signe contraire à $a$ avant $x_0$, s'annule en $x_0$, et est du même signe que $a$ après $x_0$
Tableau de signes avec a > 0
Dresser le tableau de signes de $f(x) = 2x - 6$.
Étape 1 : La racine est $x_0 = \dfrac{6}{2} = 3$.
Étape 2 : Le coefficient directeur est $a = 2 > 0$, donc $f$ est croissante.
Étape 3 : Tableau de signes :
| $x$ | $-\infty$ | $3$ | $+\infty$ | ||
| $f(x) = 2x - 6$ | $-$ | $0$ | $+$ |
Vérification : $f(0) = 2 \times 0 - 6 = -6 < 0$ et $f(5) = 2 \times 5 - 6 = 4 > 0$, ce qui confirme le tableau.
Tableau de signes avec a < 0
Dresser le tableau de signes de $h(x) = -3x + 9$.
Étape 1 : La racine est $x_0 = \dfrac{9}{3} = 3$.
Étape 2 : Le coefficient directeur est $a = -3 < 0$, donc $h$ est décroissante.
Étape 3 : Tableau de signes :
| $x$ | $-\infty$ | $3$ | $+\infty$ | ||
| $h(x) = -3x + 9$ | $+$ | $0$ | $-$ |
Vérification : $h(0) = 9 > 0$ et $h(5) = -15 + 9 = -6 < 0$, ce qui confirme le tableau.
Remarque
Un moyen mnémotechnique : le signe de $f(x)$ pour les grandes valeurs de $x$ (vers $+\infty$) est toujours le même que le signe de $a$. En effet, quand $x$ est très grand, le terme $ax$ domine le terme $b$.
Attention
Ce tableau de signes n'est valable que lorsque $a \neq 0$. Si $a = 0$, la fonction est constante ($f(x) = b$ pour tout $x$) et son signe est celui de $b$, sans changement.