Réaliser un ajustement par changement de variable
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteMéthode
Lorsque le nuage de points $ (x_{i};y_{i}) $ n'est pas aligné mais présente une forme régulière (exponentielle, puissance, hyperbolique…), on cherche un changement de variable qui ramène l'ajustement à une régression affine.
- Modèle exponentiel $ y=A\,e^{kx} $ : poser $ z=\ln(y) $ ; alors $ z=\ln(A)+kx $ est affine en $ x $.
- Modèle puissance $ y=A\,x^{k} $ (pour $ x>0 $ et $ y>0 $) : poser $ X=\ln(x) $ et $ Z=\ln(y) $ ; alors $ Z=\ln(A)+kX $ est affine en $ X $.
- Modèle hyperbolique $ y=\dfrac{a}{x}+b $ : poser $ X=\dfrac{1}{x} $ ; alors $ y=aX+b $ est affine en $ X $.
Pour réaliser un ajustement par changement de variable :
- Étape 1 : observer la forme du nuage et choisir un modèle adapté (exponentiel, puissance, hyperbolique).
- Étape 2 : appliquer le changement de variable indiqué pour construire la nouvelle série.
- Étape 3 : effectuer la régression affine de la nouvelle série à la calculatrice et lire les coefficients.
- Étape 4 : revenir aux variables initiales en exprimant $ A $ et $ k $ (ou $ a $ et $ b $) à partir des coefficients obtenus.
Remarque
Avant de choisir un modèle, il est utile de tracer le nuage à la calculatrice ou au tableur. Une croissance qui « explose » suggère un modèle exponentiel ; un nuage qui passe par l'origine et se redresse fortement suggère un modèle puissance ; un nuage décroissant qui s'aplatit vers une asymptote horizontale suggère un modèle hyperbolique.
Modèle exponentiel
On observe la population $ y $ d'une culture bactérienne (en millions) après $ x $ heures :
| $ x_{i} $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | $ 4 $ |
| $ y_{i} $ | $ 2{,}7 $ | $ 7{,}4 $ | $ 20{,}1 $ | $ 54{,}6 $ |
Ajuster $ y $ par un modèle exponentiel $ y=A\,e^{kx} $.
Étape 1 : le nuage croît très rapidement : on tente un modèle exponentiel.
Étape 2 : on pose $ z=\ln(y) $ et on construit la nouvelle série $ (x_{i}\,;z_{i}) $ :
| $ x_{i} $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | $ 4 $ |
| $ z_{i}=\ln(y_{i}) $ | $ 0{,}99 $ | $ 2{,}00 $ | $ 3{,}00 $ | $ 4{,}00 $ |
Étape 3 : la régression affine de $ z $ en $ x $ donne :
Étape 4 : on identifie $ k\approx 1 $ et $ \ln(A)\approx -0{,}01 $, donc $ A\approx e^{-0{,}01}\approx 0{,}99 $. Le modèle est :
Modèle puissance
La distance de freinage $ y $ (en mètres) d'un véhicule à la vitesse $ x $ (en dizaines de km/h) a été mesurée :
| $ x_{i} $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | $ 4 $ | $ 5 $ |
| $ y_{i} $ | $ 1{,}5 $ | $ 6 $ | $ 13{,}5 $ | $ 24 $ | $ 37{,}5 $ |
Ajuster $ y $ par un modèle puissance $ y=A\,x^{k} $.
Étape 1 : le nuage passe par l'origine et se redresse : on tente un modèle puissance.
Étape 2 : on pose $ X=\ln(x) $ et $ Z=\ln(y) $ :
| $ X_{i} $ | $ 0 $ | $ 0{,}693 $ | $ 1{,}099 $ | $ 1{,}386 $ | $ 1{,}609 $ |
| $ Z_{i} $ | $ 0{,}405 $ | $ 1{,}792 $ | $ 2{,}603 $ | $ 3{,}178 $ | $ 3{,}624 $ |
Étape 3 : la régression affine de $ Z $ en $ X $ donne :
Étape 4 : on identifie $ k=2 $ et $ \ln(A)\approx 0{,}405 $, donc $ A\approx e^{0{,}405}\approx 1{,}5 $. Le modèle est :
Remarque
Validation du modèle : après le changement de variable, calculer le coefficient de corrélation $ r $ de la série transformée. Un $ |r| $ proche de $ 1 $ confirme que le modèle choisi est pertinent. Si plusieurs modèles sont possibles, on choisit celui dont $ |r| $ est le plus proche de $ 1 $.
Attention
Pièges fréquents :
- Appliquer $ \ln $ à des valeurs négatives ou nulles : impossible, le changement de variable n'est défini que pour $ y>0 $ (et $ x>0 $ pour le modèle puissance).
- Oublier l'étape 4 : la régression donne $ z=kx+\ln(A) $, mais l'objectif est l'expression de $ y $ en fonction de $ x $, donc il faut revenir au modèle initial.
- Confondre les coefficients : la pente de la régression devient $ k $, l'ordonnée à l'origine devient $ \ln(A) $ (et non $ A $).
- Choisir un modèle sans avoir regardé le nuage : la forme guide le choix du changement de variable.