Montrer l’unicité d’une solution (corollaire du TVI)
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Corollaire du TVI (théorème de la bijection)
Si $ f $ est continue et strictement monotone sur un intervalle $ [a ; b] $ et si $ k $ est compris entre $ f(a) $ et $ f(b) $, alors l'équation $ f(x) = k $ admet une unique solution dans $ [a ; b] $.
Remarque
Ce corollaire se généralise aux intervalles ouverts ou semi-ouverts. On remplace alors $ f(a) $ et $ f(b) $ par les limites de $ f $ aux bornes de l'intervalle.
Méthode
Méthode (montrer l'unicité d'une solution)
Pour montrer que l'équation $ f(x) = k $ admet une unique solution sur un intervalle $ I $ :
- Vérifier que $ f $ est continue sur $ I $.
- Vérifier que $ f $ est strictement monotone sur $ I $ (à l'aide du signe de $ f' $).
- Vérifier que $ k $ est compris entre les valeurs (ou limites) de $ f $ aux bornes de $ I $.
- Conclure par le corollaire du TVI.
Attention
Il faut vérifier trois conditions pour appliquer ce corollaire :
- $ f $ est continue sur l'intervalle ;
- $ f $ est strictement monotone sur l'intervalle ;
- $ k $ est compris entre les valeurs de $ f $ aux bornes.
Si l'une de ces conditions manque, le corollaire ne s'applique pas.
Exemple 1
Exemple
Montrer que l'équation $ x^3 + x - 1 = 0 $ admet une unique solution dans $ \mathbb{R} $.
Soit $ f(x) = x^3 + x - 1 $.
Continuité : $ f $ est un polynôme, donc continue sur $ \mathbb{R} $.
Monotonie : $ f'(x) = 3x^2 + 1 $. Pour tout $ x \in \mathbb{R} $, $ 3x^2 \geqslant 0 $ donc $ f'(x) \geqslant 1 > 0 $.
La fonction $ f $ est strictement croissante sur $ \mathbb{R} $.
Valeurs aux bornes :
$ \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty $ et $ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty $.
Donc $ 0 $ est compris entre ces deux limites.
Conclusion : D'après le corollaire du TVI, l'équation $ f(x) = 0 $ admet une unique solution $ \alpha $ dans $ \mathbb{R} $.
Exemple 2
Exemple
Soit $ g $ définie sur $ ]0 ; +\infty[ $ par $ g(x) = \ln(x) + 2x - 3 $.
Montrer que l'équation $ g(x) = 0 $ admet une unique solution dans $ ]0 ; +\infty[ $.
Continuité : $ g $ est la somme de $ \ln $ et d'une fonction affine, continues sur $ ]0 ; +\infty[ $.
Monotonie : $ g'(x) = \dfrac{1}{x} + 2 $. Pour tout $ x > 0 $, $ \dfrac{1}{x} > 0 $ donc $ g'(x) > 2 > 0 $.
$ g $ est strictement croissante sur $ ]0 ; +\infty[ $.
Valeurs aux bornes :
$ \lim\limits_{x \rightarrow 0^+} g(x) = -\infty $
$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} g(x) = +\infty $
Conclusion : D'après le corollaire du TVI, l'équation $ g(x) = 0 $ admet une unique solution dans $ ]0 ; +\infty[ $.