QCM : Théorème des valeurs intermédiaires
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteObjectifs travaillés
Ce QCM porte sur le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) et son corollaire bijectif : conditions d'application, distinction entre existence et unicité, nombre de solutions d'une équation. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Pour pouvoir appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur $\left[a\,;\,b\right]$, l'hypothèse minimale à vérifier sur $f$ est :
- (Correct) $f$ est continue sur $\left[a\,;\,b\right]$
- (Incorrect) $f$ est continue et strictement monotone sur $\left[a\,;\,b\right]$
- (Incorrect) $f$ est dérivable sur $\left[a\,;\,b\right]$
- (Incorrect) $f$ est positive sur $\left[a\,;\,b\right]$
Question 2 : Soit $f$ une fonction continue sur $\left[0\,;\,3\right]$ avec $f(0) = -1$ et $f(3) = 4$. Que peut-on affirmer ?
- (Incorrect) L'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $\left[0\,;\,3\right]$
- (Correct) L'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution sur $\left[0\,;\,3\right]$
- (Incorrect) L'équation $f(x) = 0$ n'admet aucune solution sur $\left[0\,;\,3\right]$
- (Incorrect) L'équation $f(x) = 5$ admet une solution sur $\left[0\,;\,3\right]$
Question 3 : Pour passer du TVI au théorème de la bijection (qui assure l'unicité de la solution), l'hypothèse à ajouter sur $f$ est :
- (Incorrect) $f$ dérivable
- (Incorrect) $f$ positive
- (Correct) $f$ strictement monotone
- (Incorrect) $f$ majorée
Question 4 : Soit $f$ continue, strictement croissante sur $\mathbb{R}$ avec $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. L'équation $f(x) = 5$ admet :
- (Incorrect) aucune solution
- (Incorrect) au moins deux solutions
- (Correct) exactement une solution
- (Incorrect) une infinité de solutions
Question 5 : Soit $f$ continue sur $\left[0\,;\,2\right]$ telle que $f(0) = 3$ et $f(2) = 3$. Concernant l'équation $f(x) = 5$, on peut affirmer :
- (Incorrect) elle admet exactement une solution
- (Correct) on ne peut pas conclure
- (Incorrect) elle admet au moins une solution
- (Incorrect) elle admet exactement deux solutions
Question 6 : Le tableau de variation d'une fonction $f$ continue sur $\left[0\,;\,4\right]$ indique qu'elle est strictement décroissante de $5$ à $-3$ sur cet intervalle. Le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur $\left[0\,;\,4\right]$ est :
- (Correct) exactement une
- (Incorrect) aucune
- (Incorrect) au moins deux
- (Incorrect) exactement deux