Situation
On cherche à calculer la limite d'une fraction rationnelle lorsquex tend vers une valeur a qui annule le dénominateur; par exemple \lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{x+2}{x^{2}-1}.
Méthode
Si on a affaire à une limite du type « \frac{0}{0} » (forme indéterminée), on lève l'indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur puis en simplifiant la fraction
Si on a affaire à une limite du type « \frac{k}{0} » avec k \neq 0:
on distingue les limites à gauche et à droite :
\lim\limits_{x\rightarrow a^-} f\left(x\right) et \lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)
les limites seront égales à +\infty ou -\infty
pour déterminer le signe de la limite on étudie le signe du quotient. On peut toutefois se limiter à l'étude de signe au voisinage de a (voir exemple 3)
Exemple 1
Calculer \lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4}
En remplaçant x par 2 dans la fraction rationnelle on obtient « \frac{0}{0} ».
On lève l'indétermination en simplifiant la fraction.
2 est racine de x^{2}-3x+2 comme on vient de le voir. Le produit des racines vaut \frac{c}{a}=2 donc l'autre racine est 1 (on peut, si l'on préfère, calculer le discriminant puis les racines, mais c'est plus long…).
x^{2}-3x+2 peut donc se factoriser sous la forme \left(x-1\right)\left(x-2\right).
x^{2}-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right) (identité remarquable)
Donc :
\lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4} = \lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{x-1}{x+2} = \frac{1}{4}
Exemple 2
Calculer \lim\limits_{x\rightarrow -1} \frac{2}{1+x}
En remplaçant x par -1 dans la fraction rationnelle on obtient « \frac{2}{0} ».
La limite est donc infinie.
Pour l'étude du signe on distingue les limites à gauche et à droite.
Le numérateur est toujours positif.
si x < -1, 1+x est strictement négatif
si x > -1, 1+x est strictement positif donc :
\lim\limits_{x\rightarrow -1^+} \frac{2}{1+x}=+\infty
Exemple 3
Calculer \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{x^{3}+x-3}{x^{2}-x}
En «remplaçant x par 0» dans la fraction rationnelle on obtient «-\frac{3}{0}».
La limite sera donc infinie. On distingue les limites à gauche et à droite.
Il n'est pas facile de factoriser le numérateur qui est du troisième degré. Heureusement, cela ne sera pas nécessaire ici !
On ne va pas construire le tableau de signes sur \mathbb{R} tout entier mais seulement au voisinage de zéro.
Si x est proche de zéro le numérateur sera proche de -3 donc négatif.
Le dénominateur se factorise x^{2}-x=x\left(x-1\right) et x-1 est proche de -1 (donc négatif) lorsque x est proche de 0.
On obtient alors le tableau de signe au voisinage de 0 :
Donc :
\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}\frac{x^{3}+x-3}{x^{2}-x}=-\infty
\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{x^{3}+x-3}{x^{2}-x}=+\infty
Remarque
Une petite astuce pour vérifier votre résultat à la calculatrice.
Pour avoir une idée de la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right), donnez à x des valeurs proches de a et calculer f\left(x\right)
Par exemple, pour l'exemple 3, on saisit la fonction x\mapsto \frac{x^{3}+x-3}{x^{2}-x} et on calcule :
f\left(-0,0000000001\right)\approx -3\times 10^{10}
f\left(0,0000000001\right)\approx 3\times 10^{10}
ce qui confirme les valeurs ( et surtout les signes ! ) que nous avons trouvées (-\infty et +\infty ).
