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Terminale

Méthode

Limites du type «k/0»

Situation

On cherche à calculer la limite d'une fraction rationnelle lorsquex tend vers une valeur a qui annule le dénominateur; par exemple \lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{x+2}{x^{2}-1}.

Méthode

  • Si on a affaire à une limite du type « \frac{0}{0} » (forme indéterminée), on lève l'indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur puis en simplifiant la fraction

  • Si on a affaire à une limite du type « \frac{k}{0} » avec k \neq 0:

    • on distingue les limites à gauche et à droite :

      \lim\limits_{x\rightarrow a^-} f\left(x\right) et \lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)

    • les limites seront égales à +\infty ou -\infty

    • pour déterminer le signe de la limite on étudie le signe du quotient. On peut toutefois se limiter à l'étude de signe au voisinage de a (voir exemple 3)

Exemple 1

Calculer \lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4}

En remplaçant x par 2 dans la fraction rationnelle on obtient « \frac{0}{0} ».

On lève l'indétermination en simplifiant la fraction.

2 est racine de x^{2}-3x+2 comme on vient de le voir. Le produit des racines vaut \frac{c}{a}=2 donc l'autre racine est 1 (on peut, si l'on préfère, calculer le discriminant puis les racines, mais c'est plus long…).

x^{2}-3x+2 peut donc se factoriser sous la forme \left(x-1\right)\left(x-2\right).

x^{2}-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right) (identité remarquable)

Donc :

\lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4} = \lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{x-1}{x+2} = \frac{1}{4}

Exemple 2

Calculer \lim\limits_{x\rightarrow -1} \frac{2}{1+x}

En remplaçant x par -1 dans la fraction rationnelle on obtient « \frac{2}{0} ».

La limite est donc infinie.

Pour l'étude du signe on distingue les limites à gauche et à droite.

Le numérateur est toujours positif.

  • si x < -1, 1+x est strictement négatif

  • si x > -1, 1+x est strictement positif donc :

\lim\limits_{x\rightarrow -1^-} \frac{2}{1+x}=-\infty

\lim\limits_{x\rightarrow -1^+} \frac{2}{1+x}=+\infty

Exemple 3

Calculer \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{x^{3}+x-3}{x^{2}-x}

En «remplaçant x par 0» dans la fraction rationnelle on obtient «-\frac{3}{0}».

La limite sera donc infinie. On distingue les limites à gauche et à droite.

Il n'est pas facile de factoriser le numérateur qui est du troisième degré. Heureusement, cela ne sera pas nécessaire ici !

On ne va pas construire le tableau de signes sur \mathbb{R} tout entier mais seulement au voisinage de zéro.

Si x est proche de zéro le numérateur sera proche de -3 donc négatif.

Le dénominateur se factorise x^{2}-x=x\left(x-1\right) et x-1 est proche de -1 (donc négatif) lorsque x est proche de 0.

On obtient alors le tableau de signe au voisinage de 0 :

Exemple tableau de signes d'un quotient

Donc :

\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}\frac{x^{3}+x-3}{x^{2}-x}=-\infty

\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{x^{3}+x-3}{x^{2}-x}=+\infty

Remarque

Une petite astuce pour vérifier votre résultat à la calculatrice.

Pour avoir une idée de la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right), donnez à x des valeurs proches de a et calculer f\left(x\right)

Par exemple, pour l'exemple 3, on saisit la fonction x\mapsto \frac{x^{3}+x-3}{x^{2}-x} et on calcule :

f\left(-0,0000000001\right)\approx -3\times 10^{10}

f\left(0,0000000001\right)\approx 3\times 10^{10}

ce qui confirme les valeurs ( et surtout les signes ! ) que nous avons trouvées (-\infty et +\infty ).

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Dans ce chapitre...

Cours

  • Limites d'une fonction

Exercices

  • moyenForme indéterminée avec racine carrée
  • moyenFormes indéterminées : fonctions rationnelles
  • moyenLimites et encadrement
  • moyenLimites fonction rationnelle
  • difficileLimite avec paramètre
  • difficileLimites et racine carrée

Méthodes

  • Calculer une limite à l'aide du nombre dérivé
  • Lever une forme indéterminée

Quiz

  • facileLimites de fonctions (1)
  • facileLimites de fonctions (2)
  • moyenLimites de fonctions (3)
  • difficileLimites de fonctions (4)

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