Déterminer la position relative de deux droites dans l’espace
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Pour déterminer la position relative de deux droites $ \mathscr D $ et $ \mathscr D^{\prime} $ de l'espace, on procède par étapes :
- Étape 1 : Déterminer un vecteur directeur $ \vec{u} $ de $ \mathscr D $ et un vecteur directeur $ \vec{v} $ de $ \mathscr D^{\prime} $.
- Étape 2 : Tester si $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ sont colinéaires (c'est-à-dire s'il existe un réel $ k $ tel que $ \vec{u} = k\vec{v} $).
- Étape 3 : Si oui, les droites sont parallèles (ou confondues). Vérifier si un point de $ \mathscr D $ appartient à $ \mathscr D^{\prime} $ pour distinguer les deux cas.
- Étape 4 : Si non, chercher un éventuel point d'intersection. S'il existe, les droites sont sécantes ; sinon, elles sont non coplanaires.
Droites dans un cube — cas parallèle
On considère le cube $ ABCDEFGH $. Les droites $ (AB) $ et $ (HG) $ sont-elles parallèles, sécantes ou non coplanaires ?
Étape 1 : On détermine les vecteurs directeurs.
Un vecteur directeur de $ (AB) $ est $ \overrightarrow{AB} $.
Un vecteur directeur de $ (HG) $ est $ \overrightarrow{HG} $.
Étape 2 : On teste la colinéarité.
Dans le cube, $ ABGH $ forme un parallélogramme ($ [AH] $ et $ [BG] $ sont des arêtes latérales parallèles et de même longueur), donc :
Les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{HG} $ sont colinéaires (avec $ k = 1 $).
Étape 3 : Les droites sont parallèles. Le point $ A $ n'appartient pas à $ (HG) $ (les droites sont dans des faces distinctes du cube).
Les droites $ (AB) $ et $ (HG) $ sont donc strictement parallèles.
Droites dans un cube — cas non coplanaire
Toujours dans le cube $ ABCDEFGH $, on considère les droites $ (AG) $ et $ (BH) $. Déterminer leur position relative.
Étape 1 : On cherche les vecteurs directeurs.
$ \overrightarrow{AG} $ est un vecteur directeur de $ (AG) $.
$ \overrightarrow{BH} $ est un vecteur directeur de $ (BH) $.
Étape 2 : On teste la colinéarité.
En posant $ \overrightarrow{AB} = \vec{i} $, $ \overrightarrow{AD} = \vec{j} $ et $ \overrightarrow{AE} = \vec{k} $, on a :
$ \overrightarrow{AG} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k} $
$ \overrightarrow{BH} = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k} $
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (les premières coordonnées sont $ 1 $ et $ -1 $, les deuxièmes sont toutes les deux $ 1 $, il n'y a pas de rapport $ k $ constant).
Étape 4 : On cherche un point d'intersection.
Si un point $ M $ appartenait aux deux droites, il existerait des réels $ t $ et $ s $ tels que :
$ \overrightarrow{AM} = t \cdot \overrightarrow{AG} = t\vec{i} + t\vec{j} + t\vec{k} $
$ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{BH} = (1 - s)\vec{i} + s\vec{j} + s\vec{k} $
L'identification des coordonnées donne :
$ t = 1 - s $ et $ t = s $, d'où $ s = 1 - s $, soit $ s = \dfrac{1}{2} $.
Avec la troisième coordonnée : $ t = s = \dfrac{1}{2} $. Les trois équations sont compatibles, donc les droites se coupent.
Le point d'intersection est le centre du cube.
Les droites $ (AG) $ et $ (BH) $ sont donc sécantes.
Remarque
Dans un cube $ ABCDEFGH $, les diagonales principales $ (AG) $ et $ (BH) $ se coupent au centre du cube. En revanche, les diagonales $ (AG) $ et $ (CE) $ sont non coplanaires : elles ne se croisent pas et ne sont pas parallèles.
Attention
Deux droites qui ne se coupent pas ne sont pas forcément parallèles ! Dans l'espace (contrairement au plan), deux droites peuvent ne pas se couper tout en n'étant pas parallèles : elles sont alors non coplanaires.