Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Connexion Inscription
Droites et plans dans l'espace Exercices

Coordonnées et représentations paramétriques

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
Votre progression

Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.

Créer un compte

Objectifs travaillés

$ ABCDEFGH $ est un cube. $ I $ et $ J $ sont les deux points définis par :

  • $ \overrightarrow{HI}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{HE} $
  • $ \overrightarrow{HJ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{HG} $
coordonnees-representation-parametrique
  1. On se place dans le repère $ \left(D; \overrightarrow{DA}; \overrightarrow{DC}; \overrightarrow{DH}\right) $.

    Préciser les coordonnées des points $ A, B, C, D, E, F, G, H, I, J $ dans ce repère. Aucune justification n'est demandée pour les coordonnées des sommets du cube.
  2. Donner une représentation paramétrique de la droite $ \left(AI\right) $ et de la droite $ \left(CJ\right) $
  3. Montrer que les droites $ \left(AI\right) $ et $ \left(CJ\right) $ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

Corrigé

  1. $ A\left(1 ; 0 ; 0\right) $

    $ B\left(1 ; 1 ; 0\right) $

    $ C\left(0 ; 1 ; 0\right) $

    $ D\left(0 ; 0 ; 0\right) $

    $ E\left(1 ; 0 ; 1\right) $

    $ F\left(1 ; 1 ; 1\right) $

    $ G\left(0 ; 1 ; 1\right) $

    $ H\left(0 ; 0 ; 1\right) $

    $ \overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{HI} = \overrightarrow{DH}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{HE} $

    Les coordonnées de $ \overrightarrow{DH} $ et $ \overrightarrow{HE} $ sont $ \overrightarrow{DH} \left(0 ; 0 ; 1\right) $ et $ \overrightarrow{HE} \left(1 ; 0 ; 0\right) $

    Les coordonnées de $ \overrightarrow{DI} $ et du point $ I $ sont donc $ I \left(\dfrac{1}{3} ; 0 ; 1\right) $

    Avec un calcul similaire on trouve $ J \left(0 ; \dfrac{1}{3} ; 1\right) $

  2. La droite $ \left(AI\right) $ passe par le point $ A\left(1 ; 0 ; 0\right) $ et est dirigée par le vecteur $ \overrightarrow{AI}\left( - \dfrac{2}{3} ; 0 ; 1\right) $. Pour éviter l'emploi de fraction, on peut dire que le vecteur $ 3\overrightarrow{AI}\left( - 2 ; 0 ; 3\right) $ est également un vecteur directeur de $ \left(AI\right) $.

    Une représentation paramétrique de la droite $ \left(AI\right) $ est donc :

    $ \left\{ \begin{matrix} x=1 - 2t \\ y=0 \\ z=3t \end{matrix}\right. $

    avec

    $ t \in \mathbb{R} $

    Remarque :Cette représentation n'est pas unique. Le système :

    $ \left\{ \begin{matrix} x=1 - \dfrac{2}{3}t \\ y=0 \\ z=t \end{matrix}\right. $

    avec

    $ t \in \mathbb{R} $

    par exemple, est lui aussi correct.

    Avec un raisonnement identique on montre que le système :

    $ \left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=1 - 2t \\ z=3t \end{matrix}\right. $

    avec

    $ t \in \mathbb{R} $

    est une représentation paramétrique de la droite $ \left(CJ\right) $

  3. Les droites $ \left(AI\right) $ et $ \left(CJ\right) $ sont sécantes en un point $ M\left(x ; y ; z\right) $ s'il existe deux réels $ t $ et $ t^{\prime} $ tels que simultanément :

    $ \left\{ \begin{matrix} x=1 - 2t \\ y=0 \\ z=3t \end{matrix}\right. \qquad $

    et

    $ \qquad \left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=1 - 2t^{\prime} \\ z=3t^{\prime} \end{matrix}\right. $

    Remarque : Attention à remplacer $ t $ par $ t^{\prime} $ dans le second système car les paramètres ne sont pas nécessairement égaux dans les deux représentations paramétriques.

    Cela entraine :

    $ \left\{ \begin{matrix} 1 - 2t=0 \\ 0=1 - 2t^{\prime} \\ 3t=3t^{\prime} \end{matrix}\right. $

    Ce système admet une solution : $ t=\dfrac{1}{2} $, $ t^{\prime}=\dfrac{1}{2} $ et on obtient alors :

    $ \left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=0 \\ z=\dfrac{3}{2} \end{matrix}\right. $

    Les droites $ \left(AI\right) $ et $ \left(CJ\right) $ sont donc sécantes en un point $ M\left(0 ; 0 ; \dfrac{3}{2}\right) $

Pour réviser : Déterminer une représentation paramétrique d'une droite