QCM : Représentation paramétrique d’une droite
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Ce QCM porte sur la représentation paramétrique d'une droite dans l'espace. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : La droite $\mathscr{D}$ passe par $A(1~;~2~;~-3)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(2~;~-1~;~4)$. Quelle est sa représentation paramétrique ?
- (Correct) $\left\{\begin{matrix}x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = -3 + 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$
- (Incorrect) $\left\{\begin{matrix}x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 4 - 3t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$
- (Incorrect) $\left\{\begin{matrix}x = 1 - 2t \\ y = 2 + t \\ z = -3 - 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$
- (Incorrect) $\left\{\begin{matrix}x = 2t \\ y = -t \\ z = 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$
Question 2 : Le point $A(3~;~5~;~-1)$ appartient-il à la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{matrix}x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = 2 - 3t\end{matrix}\right.$ ?
- (Incorrect) Oui, on trouve $t = 2$ partout
- (Correct) Non, les deux premières équations donnent $t = 2$ mais la troisième donne $z = -4$
- (Incorrect) Oui, le système est compatible
- (Incorrect) On ne peut pas le déterminer sans connaître le vecteur directeur
Question 3 : Quelles sont les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{matrix}x = 2 - 3t \\ y = 1 + 5t \\ z = -4 + t\end{matrix}\right.$ ?
- (Incorrect) $\vec{u}(2~;~1~;~-4)$
- (Correct) $\vec{u}(-3~;~5~;~1)$
- (Incorrect) $\vec{u}(3~;~5~;~-1)$
- (Incorrect) $\vec{u}(-3~;~5~;~-4)$
Question 4 : La droite $\mathscr{D}$ passe par $A(1~;~1~;~1)$ et $B(3~;~-1~;~5)$. Quelle est une représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ ?
- (Incorrect) $\left\{\begin{matrix}x = 1 + 3t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + 5t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$
- (Incorrect) $\left\{\begin{matrix}x = 2 + t \\ y = -2 + t \\ z = 4 + t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$
- (Correct) $\left\{\begin{matrix}x = 1 + 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = 1 + 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$
- (Incorrect) $\left\{\begin{matrix}x = 2t \\ y = -2t \\ z = 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$
Question 5 : Pour quelle valeur du paramètre $t$ le point $M$ de la droite $\left\{\begin{matrix}x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 3 - t\end{matrix}\right.$ a-t-il pour ordonnée $5$ ?
- (Incorrect) $t = 6$
- (Correct) $t = 3$
- (Incorrect) $t = 2$
- (Incorrect) $t = -3$
Question 6 : Les droites de représentations paramétriques $\mathscr{D}_1 : \left\{\begin{matrix}x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t\end{matrix}\right.$ et $\mathscr{D}_2 : \left\{\begin{matrix}x = 2 + 2s \\ y = 1 - 2s \\ z = 4s\end{matrix}\right.$ sont :
- (Incorrect) confondues
- (Correct) strictement parallèles
- (Incorrect) sécantes
- (Incorrect) non coplanaires