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Droites et plans dans l'espace Entraînement

QCM : Représentation paramétrique d’un plan

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Ce QCM porte sur la représentation paramétrique d'un plan dans l'espace et les positions relatives associées. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.

Déroulement pas à pas (Correction et Indices)

Question 1 :

Le plan $\mathscr{P}$ passe par $A(1~;~0~;~-1)$ et a pour vecteurs directeurs $\vec{u}(1~;~1~;~0)$ et $\vec{v}(0~;~1~;~1)$. Quelle est une représentation paramétrique de $\mathscr{P}$ ?

  • (Correct) $\left\{\begin{matrix}x = 1 + s \\ y = s + t \\ z = -1 + t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$
  • (Incorrect) $\left\{\begin{matrix}x = s \\ y = s + t \\ z = t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$
  • (Incorrect) $\left\{\begin{matrix}x = 1 + s \\ y = 1 + s + t \\ z = -1 + t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$
  • (Incorrect) $\left\{\begin{matrix}x = 1 + s + t \\ y = s \\ z = -1 + t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$
Question 2 :

Le point $B(3~;~5~;~1)$ appartient-il au plan de représentation paramétrique $\left\{\begin{matrix}x = 1 + s + t \\ y = 2 + s - t \\ z = -1 + s + 2t\end{matrix}\right.$ ?

  • (Incorrect) Oui, pour $s = \dfrac{5}{2}$ et $t = -\dfrac{1}{2}$
  • (Correct) Non, le système n'a pas de solution
  • (Incorrect) Oui, le système est compatible
  • (Incorrect) On ne peut pas conclure sans connaître les vecteurs directeurs
Question 3 :

Quels sont des vecteurs directeurs du plan de représentation paramétrique $\left\{\begin{matrix}x = 2 + s - t \\ y = 1 + 2s \\ z = 3 - s + t\end{matrix}\right.$ ?

  • (Correct) $\vec{u}(1~;~2~;~-1)$ et $\vec{v}(-1~;~0~;~1)$
  • (Incorrect) $\vec{u}(2~;~1~;~3)$ et $\vec{v}(1~;~-1~;~1)$
  • (Incorrect) $\vec{u}(1~;~2~;~-1)$ et $\vec{v}(1~;~0~;~1)$
  • (Incorrect) $\vec{u}(s~;~2s~;~-s)$ et $\vec{v}(-t~;~0~;~t)$
Question 4 :

On considère $A(1~;~0~;~0)$, $B(0~;~1~;~0)$ et $C(0~;~0~;~1)$. Quelle est une représentation paramétrique du plan $(ABC)$ ?

  • (Correct) $\left\{\begin{matrix}x = 1 - s - t \\ y = s \\ z = t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$
  • (Incorrect) $\left\{\begin{matrix}x = s \\ y = s + t \\ z = t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$
  • (Incorrect) $\left\{\begin{matrix}x = 1 + s + t \\ y = s \\ z = t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$
  • (Incorrect) $\left\{\begin{matrix}x = s + t \\ y = 1 + s \\ z = 1 + t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$
Question 5 :

Soit $\mathscr{D}$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{matrix}x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = t\end{matrix}\right.$ et $\mathscr{P}$ le plan passant par $O(0~;~0~;~0)$ avec vecteurs directeurs $\vec{u}(1~;~0~;~0)$ et $\vec{v}(0~;~1~;~0)$. Quelle est leur position relative ?

  • (Incorrect) strictement parallèles
  • (Correct) sécants en $M(1~;~0~;~0)$
  • (Incorrect) la droite est incluse dans le plan
  • (Incorrect) sécants en $O(0~;~0~;~0)$
Question 6 :

Soient $\mathscr{P}_1 : \left\{\begin{matrix}x = s \\ y = t \\ z = 0\end{matrix}\right.$ et $\mathscr{P}_2 : \left\{\begin{matrix}x = 1 + s \\ y = t \\ z = 2\end{matrix}\right.$. Quelle est la position relative de ces deux plans ?

  • (Correct) strictement parallèles
  • (Incorrect) sécants selon une droite
  • (Incorrect) confondus
  • (Incorrect) on ne peut pas savoir car les vecteurs directeurs sont différents