Déterminer l’équation d’une tangente à une courbe
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteMéthode
L'équation de la tangente à la courbe $ \mathscr{C}_{f} $ au point d'abscisse $ x_{0} $ est :
Pour déterminer cette équation :
- Étape 1 : calculer $ f\left(x_{0}\right) $ (ordonnée du point de tangence).
- Étape 2 : calculer la fonction dérivée $ f^{\prime} $.
- Étape 3 : calculer $ f^{\prime}\left(x_{0}\right) $ (coefficient directeur de la tangente).
- Étape 4 : remplacer dans la formule, puis développer pour obtenir une équation de la forme $ y=ax+b $.
Tangente à une parabole
Soit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=x^{2}-3x+1 $.
Déterminons l'équation de la tangente à la courbe $ \mathscr{C}_{f} $ au point d'abscisse $ x_{0}=2 $.
Étape 1 : calcul de $ f\left(2\right) $
$ f\left(2\right)=4-6+1=-1 $
Étape 2 : calcul de $ f^{\prime}\left(x\right) $
$ f^{\prime}\left(x\right)=2x-3 $
Étape 3 : calcul de $ f^{\prime}\left(2\right) $
$ f^{\prime}\left(2\right)=2\times 2-3=1 $
Étape 4 : équation de la tangente
$ y=f^{\prime}\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right) $
$ y=1\times \left(x-2\right)+\left(-1\right) $
Tangente à la courbe de la fonction inverse
Soit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R}^{*} $ par $ f\left(x\right)=\dfrac{1}{x} $.
Déterminons l'équation de la tangente à $ \mathscr{C}_{f} $ au point d'abscisse $ x_{0}=-1 $.
Étape 1 : $ f\left(-1\right)=\dfrac{1}{-1}=-1 $
Étape 2 : $ f^{\prime}\left(x\right)=-\dfrac{1}{x^{2}} $
Étape 3 : $ f^{\prime}\left(-1\right)=-\dfrac{1}{\left(-1\right)^{2}}=-1 $
Étape 4 :
$ y=-1\times \left(x-\left(-1\right)\right)+\left(-1\right) $
$ y=-\left(x+1\right)-1 $
Remarque
Cas particuliers utiles :
- si $ f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 $, la tangente est horizontale d'équation $ y=f\left(x_{0}\right) $.
- si $ f $ n'est pas dérivable en $ x_{0} $ (ex : $ \sqrt{x} $ en $ 0 $), la tangente peut exister mais être verticale : la formule ne s'applique pas.
Attention
Ne pas oublier le signe de $ \left(x-x_{0}\right) $ lorsque $ x_{0} $ est négatif : écrire $ \left(x-\left(-1\right)\right)=\left(x+1\right) $.
Vérifier que la tangente passe bien par le point $ \left(x_{0}\,;\,f\left(x_{0}\right)\right) $ en remplaçant $ x $ par $ x_{0} $ dans l'équation finale.