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Première

difficileExercice corrigé

Intersections de tangentes

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right).
P est la parabole d'équation y=x^{2}
D_{m} est la droite d'équation 8mx-4y+1=0 où m\in \mathbb{R}

  1. Montrer que pour tout m\in \mathbb{R}, P et D_{m} se coupent en deux points distincts A_{m} et B_{m}.
    1. Calculer les coordonnées du point d'intersection I_{m} des tangentes à la courbe P aux points A_{m} et B_{m}.
    2. Quel est l'ensemble des points I_{m} lorsque m décrit \mathbb{R} ?

Corrigé

  1. M\left(x;y\right) est un point d'intersection de P et de D_{m} si et seulement si :
    \begin{cases} y=x^{2} \\8mx-4y+1=0 \end{cases}

    On remplace y par x^2 dans la seconde équation :
    8mx-4x^{2}+1=0
    -4x^{2}+8mx+1=0

    \Delta =\left(8m\right)^{2}-4 \times (-4) \times 1=64m^{2}+16
    \Delta est strictement positif donc l'équation a deux solutions distinctes :

    x_{1}=\frac{-8m+\sqrt{64m^{2}+16}}{-8}=\frac{-8m+4\sqrt{4m^{2}+1}}{-8}=m-\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}
    x_{2}=m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}

    On a alors y_{1}=x_{1}^{2} et y_{2}=x_{2}^{2}
    P et D_{m} se coupent donc en deux points distincts A_m\left( m-\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} ; \left(m-\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2} \right) et B_m\left(m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} ; \left(m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2}\right)

    1.  
      Intersections de tangentes

      Cas m=1

      Comme f\left(x\right)=x^{2}, f^{\prime}\left(x\right)=2x.

      L'équation de la tangente à la parabole en A_{m} a pour équation:
      y=f^{\prime}\left(x_{1}\right)\left(x-x_{1}\right)+f\left(x_{1}\right)
      c'est à dire
      y=2x_{1}\left(x-x_{1}\right)+x_{1}^{2}
      y=2x_{1}x-x_{1}^{2}

      De même, l'équation de la tangente à la parabole en B_{m} a pour équation:
      y=2x_{2}x-x_{2}^{2}

      Pour trouver les coordonnées de l'intersection I_{m} on résout le système :
      \left\{ \begin{matrix} y=2x_{1}x-x_{1}^{2} \\ y=2x_{2}x-x_{2}^{2} \end{matrix}\right.

      Par substitution, il est équivalent à :
      \left\{ \begin{matrix} y=2x_{1}x-x_{1}^{2} \\ 2x_{1}x+x_{1}^{2}=2x_{2}x-x_{2}^{2} \end{matrix}\right.

      La deuxième équation donne successivement :
      2x_{1}x-2x_{2}x=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}
      2\left(x_{1}-x_{2}\right)x=\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right)
      2x=x_{1}+x_{2}
      or x_{1}+x_{2}=m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}+m-\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}=2m
      donc l'équation devient:
      2x=2m c'est à dire x=m.

      En remplaçant x par m dans la première équation du système on obtient :
      y=2mx_{1}-x_{1}^{2}=x_{1}\left(2m-x_{1}\right)
      y=\left(m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)\times \left(2m-m-\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)
      y=\left(m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)\times \left(m-\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)

      C'est une identité remarquable:
      y=m^{2}-\left(\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2}=m^{2}-\frac{4m^{2}+1}{4}=\frac{4m^{2}-4m^{2}-1}{4}=-\frac{1}{4}

      Les coordonnées de I_{m} sont donc \left(m;-\frac{1}{4}\right).

    2. Lorsque m décrit \mathbb{R} l'abscisse de I_{m} décrit \mathbb{R} tandis que son ordonnée est constante et égale à -\frac{1}{4}.
      L'ensemble des points I_{m} lorsque m décrit \mathbb{R} est donc la droite d'équation y=-\frac{1}{4}
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