Exercice corrigéLe plan est rapporté à un repère orthonormé \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right).
P est la parabole d'équation y=x^{2}
D_{m} est la droite d'équation 8mx-4y+1=0 où m\in \mathbb{R}
- Montrer que pour tout m\in \mathbb{R}, P et D_{m} se coupent en deux points distincts A_{m} et B_{m}.
- Calculer les coordonnées du point d'intersection I_{m} des tangentes à la courbe P aux points A_{m} et B_{m}.
- Quel est l'ensemble des points I_{m} lorsque m décrit \mathbb{R} ?
Corrigé
- M\left(x;y\right) est un point d'intersection de P et de D_{m} si et seulement si :
\begin{cases} y=x^{2} \\8mx-4y+1=0 \end{cases}On remplace y par x^2 dans la seconde équation :
8mx-4x^{2}+1=0
-4x^{2}+8mx+1=0\Delta =\left(8m\right)^{2}-4 \times (-4) \times 1=64m^{2}+16
\Delta est strictement positif donc l'équation a deux solutions distinctes :x_{1}=\frac{-8m+\sqrt{64m^{2}+16}}{-8}=\frac{-8m+4\sqrt{4m^{2}+1}}{-8}=m-\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}
x_{2}=m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}On a alors y_{1}=x_{1}^{2} et y_{2}=x_{2}^{2}
P et D_{m} se coupent donc en deux points distincts A_m\left( m-\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} ; \left(m-\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2} \right) et B_m\left(m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} ; \left(m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2}\right) -
Cas m=1
Comme f\left(x\right)=x^{2}, f^{\prime}\left(x\right)=2x.
L'équation de la tangente à la parabole en A_{m} a pour équation:
y=f^{\prime}\left(x_{1}\right)\left(x-x_{1}\right)+f\left(x_{1}\right)
c'est à dire
y=2x_{1}\left(x-x_{1}\right)+x_{1}^{2}
y=2x_{1}x-x_{1}^{2}De même, l'équation de la tangente à la parabole en B_{m} a pour équation:
y=2x_{2}x-x_{2}^{2}Pour trouver les coordonnées de l'intersection I_{m} on résout le système :
\left\{ \begin{matrix} y=2x_{1}x-x_{1}^{2} \\ y=2x_{2}x-x_{2}^{2} \end{matrix}\right.Par substitution, il est équivalent à :
\left\{ \begin{matrix} y=2x_{1}x-x_{1}^{2} \\ 2x_{1}x+x_{1}^{2}=2x_{2}x-x_{2}^{2} \end{matrix}\right.La deuxième équation donne successivement :
2x_{1}x-2x_{2}x=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}
2\left(x_{1}-x_{2}\right)x=\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right)
2x=x_{1}+x_{2}
or x_{1}+x_{2}=m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}+m-\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}=2m
donc l'équation devient:
2x=2m c'est à dire x=m.En remplaçant x par m dans la première équation du système on obtient :
y=2mx_{1}-x_{1}^{2}=x_{1}\left(2m-x_{1}\right)
y=\left(m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)\times \left(2m-m-\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)
y=\left(m+\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)\times \left(m-\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)C'est une identité remarquable:
y=m^{2}-\left(\frac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2}=m^{2}-\frac{4m^{2}+1}{4}=\frac{4m^{2}-4m^{2}-1}{4}=-\frac{1}{4}Les coordonnées de I_{m} sont donc \left(m;-\frac{1}{4}\right).
- Lorsque m décrit \mathbb{R} l'abscisse de I_{m} décrit \mathbb{R} tandis que son ordonnée est constante et égale à -\frac{1}{4}.
L'ensemble des points I_{m} lorsque m décrit \mathbb{R} est donc la droite d'équation y=-\frac{1}{4}
-
