Déterminer une équation cartésienne d’une droite
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Créer un compteMéthode : à partir de deux points
Soient $A\left(x_A ; y_A\right)$ et $B\left(x_B ; y_B\right)$ deux points distincts d'une droite $d$.
- Étape 1 : Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
Étape 2 : Pour tout point $M\left(x ; y\right)$ de la droite, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires. Écrire que leur déterminant est nul :
$\det\left(\overrightarrow{AM} ; \overrightarrow{AB}\right) = 0$- Étape 3 : Développer et réduire pour obtenir une équation de la forme $ax + by + c = 0$.
À partir de deux points
Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $A\left(1 ; 3\right)$ et $B\left(4 ; -1\right)$.
Étape 1 : On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ :
$\overrightarrow{AB}\left(4 - 1 ; -1 - 3\right) = \overrightarrow{AB}\left(3 ; -4\right)$
Étape 2 : Pour tout point $M\left(x ; y\right)$ de $d$, on a $\overrightarrow{AM}\left(x - 1 ; y - 3\right)$.
Les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires, donc :
$\det\left(\overrightarrow{AM} ; \overrightarrow{AB}\right) = 0$
$(x - 1) \times (-4) - (y - 3) \times 3 = 0$
Étape 3 : On développe :
$-4x + 4 - 3y + 9 = 0$
$-4x - 3y + 13 = 0$
Une équation cartésienne de $d$ est :
À partir de deux points (cas simplifié)
Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $C\left(0 ; 2\right)$ et $D\left(3 ; 5\right)$.
Étape 1 : On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$ :
$\overrightarrow{CD}\left(3 - 0 ; 5 - 2\right) = \overrightarrow{CD}\left(3 ; 3\right)$
Étape 2 : Pour tout point $M\left(x ; y\right)$ de $d$, on a $\overrightarrow{CM}\left(x ; y - 2\right)$.
$\det\left(\overrightarrow{CM} ; \overrightarrow{CD}\right) = 0$
$x \times 3 - (y - 2) \times 3 = 0$
Étape 3 : On développe :
$3x - 3y + 6 = 0$
En simplifiant par $3$ :
Méthode : à partir d'un point et d'un vecteur directeur
Soit $A\left(x_A ; y_A\right)$ un point d'une droite $d$ de vecteur directeur $\vec{u}\left(\alpha ; \beta\right)$.
Étape 1 : Pour tout point $M\left(x ; y\right)$ de $d$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires. Écrire que leur déterminant est nul :
$\det\left(\overrightarrow{AM} ; \vec{u}\right) = 0$- Étape 2 : Développer et réduire pour obtenir $ax + by + c = 0$.
À partir d'un point et d'un vecteur directeur
Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $A\left(2 ; -1\right)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\left(1 ; 3\right)$.
Étape 1 : Pour tout point $M\left(x ; y\right)$ de $d$, on a $\overrightarrow{AM}\left(x - 2 ; y + 1\right)$.
$\det\left(\overrightarrow{AM} ; \vec{u}\right) = 0$
$(x - 2) \times 3 - (y + 1) \times 1 = 0$
Étape 2 : On développe :
$3x - 6 - y - 1 = 0$
Une équation cartésienne de $d$ est :
Remarque
- Le vecteur $\vec{u}\left(-b ; a\right)$ est un vecteur directeur de la droite d'équation $ax + by + c = 0$. Cela permet de vérifier le résultat : dans l'exemple ci-dessus, l'équation $3x - y - 7 = 0$ donne $a = 3$, $b = -1$, donc le vecteur directeur est $\left(-(-1) ; 3\right) = \left(1 ; 3\right)$ : c'est bien le vecteur $\vec{u}$ de départ.
- On peut simplifier l'équation par un facteur commun (exemple 2 : diviser par $3$) mais ce n'est pas obligatoire.
Attention
Le déterminant de $\vec{u}\left(a ; b\right)$ et $\vec{v}\left(a' ; b'\right)$ est $ab' - ba'$, et non $ab' + ba'$. Attention au signe du second terme.