Dériver une fonction trigonométrique
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteRappel des dérivées
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| $ \sin(x) $ | $ \cos(x) $ |
| $ \cos(x) $ | $ -\sin(x) $ |
| $ \sin(ax + b) $ | $ a\cos(ax + b) $ |
| $ \cos(ax + b) $ | $ -a\sin(ax + b) $ |
| $ \sin\left(u(x)\right) $ | $ u'(x)\cos\left(u(x)\right) $ |
| $ \cos\left(u(x)\right) $ | $ -u'(x)\sin\left(u(x)\right) $ |
Méthode
Pour dériver une fonction trigonométrique :
- Étape 1 : identifier la forme de la fonction : simple ($ \sin(x) $, $ \cos(x) $), de type $ ax + b $, ou composée ($ \sin(u) $, $ \cos(u) $).
- Étape 2 : appliquer la formule de dérivation correspondante. Pour une fonction composée, ne pas oublier de multiplier par $ u'(x) $.
- Étape 3 : simplifier l'expression obtenue si nécessaire (factoriser, utiliser les formules trigonométriques).
Dériver une fonction de la forme sin(ax + b)
Calculer la dérivée de $ f(x) = \sin\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right) $.
Étape 1 : la fonction est de la forme $ \sin(ax + b) $ avec $ a = 3 $ et $ b = \dfrac{\pi}{4} $.
Étape 2 : on applique la formule : la dérivée de $ \sin(ax + b) $ est $ a\cos(ax + b) $.
Dériver une fonction composée
Calculer la dérivée de $ g(x) = \cos^{2}(x) $.
Étape 1 : on réécrit $ g(x) = \left[\cos(x)\right]^{2} $. C'est une fonction de la forme $ [u(x)]^{2} $ avec $ u(x) = \cos(x) $.
Étape 2 : la dérivée de $ u^{2} $ est $ 2u \times u' $.
On a $ u(x) = \cos(x) $ donc $ u'(x) = -\sin(x) $.
$ g'(x) = 2\cos(x) \times \left(-\sin(x)\right) $
Étape 3 : on simplifie en utilisant la formule de duplication $ 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x) $ :
Remarque
Pour les fonctions faisant intervenir des produits ou des quotients de fonctions trigonométriques, on combine les règles de dérivation (produit, quotient) avec les dérivées de base. Par exemple, pour $ h(x) = x\sin(x) $, on utilise la dérivée d'un produit : $ h'(x) = \sin(x) + x\cos(x) $.
Attention
L'erreur la plus fréquente est d'oublier le facteur multiplicatif dans la dérivée d'une fonction composée. Par exemple, la dérivée de $ \sin(3x) $ est $ 3\cos(3x) $ et non $ \cos(3x) $.
Autre piège : le signe moins dans la dérivée du cosinus. La dérivée de $ \cos(x) $ est $ -\sin(x) $ (avec le signe $ - $), pas $ \sin(x) $.