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Fonctions trigonométriques Exercices

Étude de la fonction tangente

Durée estimée
25 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

On définit la fonction tangente ($ \tan $) par :

$ \tan\left(x\right)=\dfrac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)} $
  1. Sur quel ensemble $ D $ la fonction tangente est elle définie ?
  2. Montrer que la fonction tangente est périodique de période $ \pi $.

    Par la suite on étudiera la fonction tangente sur l'intervalle $ I=\left] - \dfrac{\pi }{2} ; \dfrac{\pi }{2}\right[ $.

  3. Montrer que la fonction tangente est dérivable sur $ I $ et que pour tout $ x \in I $ :

    $ \tan^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{\cos^{2}\left(x\right)}=1+\tan^{2}\left(x\right) $
  4. Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow - \pi /2+}\tan\left(x\right) $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow \pi /2 - }\tan\left(x\right) $.

    (On rappelle que la notation « $ x\rightarrow - \pi /2+ $ » signifie : « $ x\rightarrow - \pi /2 $ et $ x > - \pi /2 $ »

    et « $ x\rightarrow \pi /2 - $ » signifie : « $ x\rightarrow \pi /2 $ et $ x < \pi /2 $ »)
  5. Tracer le tableau de variation de la fonction tangente sur l'intervalle $ I $.
  6. Tracer la courbe de la fonction tangente sur l'intervalle $ I $.
    A partir de cette courbe, comment obtiendrait-on la courbe complète de la fonction tangente sur $ \mathbb{R} $?

Corrigé

  1. La fonction tangente est définie par $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$.
    Elle est définie dès que son dénominateur est non nul, c'est-à-dire quand $\cos(x) \neq 0$.
    On sait que $\cos(x) = 0$ pour $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, soit $x = (2k+1)\dfrac{\pi}{2}$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
    L'ensemble de définition est donc :

    $ D = \mathbb{R} - \left\{ (2k+1)\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\} $

  2. Pour tout $x \in D$, $(x+\pi) \in D$ et :

    $ \tan(x+\pi) = \dfrac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \dfrac{-\sin(x)}{-\cos(x)} = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x) $

    La fonction tangente est donc périodique de période $\pi$.

  3. Sur l'intervalle $I = \left] -\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right[$, les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont dérivables et $\cos(x) \neq 0$. Par quotient, la fonction tangente est dérivable sur $I$.

    En posant $u(x) = \sin(x)$ et $v(x) = \cos(x)$, on a $u'(x) = \cos(x)$ et $v'(x) = -\sin(x)$.

    $ \tan'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \dfrac{\cos^2(x) - \sin(x)(-\sin(x))}{\cos^2(x)} = \dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} $

    On en déduit les deux expressions de la dérivée :

  4. Comme $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, alors $ \tan'(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)} $.
  5. Comme $\dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \dfrac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} + \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$, alors $ \tan'(x) = 1 + \tan^2(x) $.
  6. On a $\lim\limits_{x\rightarrow -\pi/2^+} \sin(x) = -1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow -\pi/2^+} \cos(x) = 0^+$ (car sur $I$, $\cos(x) > 0$).
    Par quotient, $\mathbf{\lim\limits_{x\rightarrow -\pi/2^+} \tan(x) = -\infty}$.
    De même, $\lim\limits_{x\rightarrow \pi/2^-} \sin(x) = 1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow \pi/2^-} \cos(x) = 0^+$.
    Par quotient, $\mathbf{\lim\limits_{x\rightarrow \pi/2^-} \tan(x) = +\infty}$.

  7. Comme $\tan'(x) = 1 + \tan^2(x)$, on a $\tan'(x) \geqslant 1$ pour tout $x \in I$. La dérivée est donc strictement positive.

    On en déduit le tableau de variations de la fonction tangente sur $I$ :

    Tableau de variations de la fonction tangente

  8. Courbe représentative de la fonction tangente sur $I$ :

    Représentation graphique de la fonction tangente

    Comme la fonction est périodique de période $\pi$, on obtient la courbe complète sur $\mathbb{R}$ par des translations successives de vecteur $k\pi \vec{i}$ avec $k \in \mathbb{Z}$ de la portion de courbe obtenue sur $I$.