Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore
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On utilise le théorème de Pythagore lorsqu'on connait deux côtés d'un triangle rectangle et qu'on cherche le troisième.
Propriété
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
La méthode est la suivante :
- Identifier le triangle rectangle et nommer les côtés.
- Écrire l'égalité de Pythagore.
- Remplacer par les valeurs connues.
- Isoler le côté inconnu et calculer.
Attention
Ne pas oublier de prendre la racine carrée à la fin pour obtenir la longueur (et non son carré).
Exemple 1 : calculer l'hypoténuse
Soit $ EFG $ un triangle rectangle en $ F $ tel que $ EF = 6 $cm et $ FG = 8 $cm. Calculer $ EG $.
Solution :
Le triangle $ EFG $ est rectangle en $ F $, donc $ [EG] $ est l'hypoténuse.
D'après le théorème de Pythagore :
$ EG^{2} = EF^{2} + FG^{2} $
$ EG^{2} = 6^{2} + 8^{2} $
$ EG^{2} = 36 + 64 $
$ EG^{2} = 100 $
Donc $ EG = \sqrt{100} = 10 $cm.
Exemple 2 : calculer un côté de l'angle droit
Soit $ RST $ un triangle rectangle en $ S $ tel que $ RT = 13 $cm et $ RS = 5 $cm. Calculer $ ST $.
Solution :
Le triangle $ RST $ est rectangle en $ S $, donc $ [RT] $ est l'hypoténuse.
D'après le théorème de Pythagore :
$ RT^{2} = RS^{2} + ST^{2} $
On isole $ ST^{2} $ :
$ ST^{2} = RT^{2} - RS^{2} $
$ ST^{2} = 13^{2} - 5^{2} $
$ ST^{2} = 169 - 25 $
$ ST^{2} = 144 $
Donc $ ST = \sqrt{144} = 12 $cm.