Deux triangles rectangles imbriqués

Dans le triangle $ ACH $ rectangle en $ H $, par rapport à l'angle $ \widehat{ACH} = 50^{\circ} $ :

• $ [AH] $ est le côté opposé (cherché)
• $ [HC] $ est le côté adjacent ($ HC = 4 $ cm)

On utilise la tangente :

$ \tan(50^{\circ}) = \dfrac{AH}{HC} $
$ AH = HC \times \tan(50^{\circ}) = 4 \times \tan(50^{\circ}) $
$ AH \approx 4{,}8 $ cm

Dans le triangle $ ABH $ rectangle en $ H $, d'après le théorème de Pythagore :

$ AB^{2} = AH^{2} + BH^{2} $
$ BH^{2} = AB^{2} - AH^{2} $
$ BH^{2} = 10^{2} - (4\tan(50^{\circ}))^{2} $
$ BH^{2} = 100 - 16\tan^{2}(50^{\circ}) $
$ BH^{2} \approx 100 - 22{,}72 $
$ BH^{2} \approx 77{,}28 $

Donc $ BH \approx 8{,}8 $ cm.

Les points $ B $, $ H $ et $ C $ sont alignés ($ H $ est sur $ [BC] $), donc :

$ BC = BH + HC \approx 8{,}8 + 4 = 12{,}8 $ cm

Vérifions si le triangle $ ABC $ est rectangle en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.

Le plus grand côté est $ [BC] $ avec $ BC \approx 12{,}8 $.

$ BC^{2} \approx 12{,}8^{2} \approx 163{,}8 $

$ AB^{2} + AC^{2} $ : il faut d'abord calculer $ AC $.

Dans le triangle $ ACH $ rectangle en $ H $, d'après le théorème de Pythagore :

$ AC^{2} = AH^{2} + HC^{2} = (4\tan(50^{\circ}))^{2} + 4^{2} $
$ AC^{2} \approx 22{,}72 + 16 = 38{,}72 $

Donc :

$ AB^{2} + AC^{2} \approx 100 + 38{,}72 = 138{,}72 $

Comme $ BC^{2} \approx 163{,}8 $ et $ AB^{2} + AC^{2} \approx 138{,}72 $, on a $ BC^{2} \neq AB^{2} + AC^{2} $.

Le triangle $ ABC $ n'est pas rectangle.