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Théorème de Pythagore - Trigonométrie Exercices

Pythagore et trigonométrie – Cerf-volant – Brevet Nouvelle-Calédonie 2025

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Thomas souhaite construire le cerf-volant représenté par la figure ci-dessous :

Cerf-volant ABCD : A en haut, B en bas, C à gauche, D à droite, E est l'intersection des diagonales sur le segment [AB] avec ED = EC, AB = 50 cm, CD = 40 cm, angle DEB droit, angle EBD = 30^{\circ}

On donne :

  • $ \widehat{DEB} = 90^{\circ} $
  • $ \widehat{EBD} = 30^{\circ} $
  • $ AB = 50 $ cm
  • $ CD = 40 $ cm
  • $ ED = EC $
  1. Calculer BE. On donnera une valeur arrondie au millimètre.
    Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.

Lorsque Thomas a essayé son cerf-volant, il s'est demandé à quelle altitude il volait. Il a attaché sa corde à un piquet planté dans le sol (point S) puis est allé se placer (point T) parfaitement à la verticale sous son cerf-volant (point H). Il a alors mesuré certaines longueurs et a réalisé le schéma ci-dessous.

Schéma vertical : un piquet en S au sol, un point T au sol situé à 7,60 m à droite de S, le cerf-volant en H à la verticale au-dessus de T ; la corde reliant S à H mesure 20,50 m, la hauteur HT est inconnue
  1. Calculer HT, altitude à laquelle volait son cerf-volant. On donnera une valeur arrondie au mètre. Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.

Il est conseillé de ne pas utiliser ce cerf-volant lorsque le vent dépasse 20 km/h. La météo annonce un vent ne dépassant pas 15 nœuds.

On donne 1 nœud = 0,514 m/s.

  1. Thomas peut-il faire voler son cerf-volant sans risque dans ces conditions ? Justifier votre réponse.

Corrigé

  1. Comme $ \widehat{DEB} = 90^{\circ} $, le triangle DEB est rectangle en E.

    Comme $ ED = EC $ et que les points C, E, D sont alignés avec $ CD = 40 $ cm, le point E est le milieu de [CD]. On en déduit :

    $ ED = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{40}{2} = 20 $ cm.

    Dans le triangle DEB rectangle en E, on connaît l'angle aigu $ \widehat{EBD} = 30^{\circ} $, le côté ED qui lui est opposé, et on cherche le côté BE qui lui est adjacent. On utilise la tangente :

    $ \tan(\widehat{EBD}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \dfrac{ED}{BE} $

    $ \tan(30^{\circ}) = \dfrac{20}{BE} $

    $ BE = \dfrac{20}{\tan(30^{\circ})} $

    À la calculatrice : $ BE \approx 34{,}641 $ cm.

    Arrondie au millimètre, $ BE \approx 34{,}6 $ cm.

  2. D'après le schéma, le triangle SHT est rectangle en T (HT est vertical et ST est horizontal). On connaît l'hypoténuse $ SH = 20{,}50 $ m et le côté $ ST = 7{,}60 $ m, et on cherche le troisième côté HT.

    D'après le théorème de Pythagore :

    $ SH^2 = ST^2 + HT^2 $

    $ 20{,}50^2 = 7{,}60^2 + HT^2 $

    $ 420{,}25 = 57{,}76 + HT^2 $

    $ HT^2 = 420{,}25 - 57{,}76 = 362{,}49 $

    $ HT = \sqrt{362{,}49} \approx 19{,}04 $ m.

    Le cerf-volant volait à une altitude d'environ 19 m.

  3. On convertit la vitesse maximale annoncée par la météo en km/h.

    $ 15 $ nœuds $ = 15 \times 0{,}514 = 7{,}71 $ m/s.

    Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6 :

    $ 7{,}71 \times 3{,}6 = 27{,}756 $ km/h, soit environ 27,8 km/h.

    Comme $ 27{,}8 > 20 $, le vent annoncé peut dépasser la limite recommandée pour ce cerf-volant.

    Thomas ne peut donc pas faire voler son cerf-volant sans risque dans ces conditions.