Calculer une longueur ou un angle dans un parallélogramme
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Dans un parallélogramme, on utilise trois propriétés principales pour calculer.
- Côtés opposés de même longueur : dans $ ABCD $, on a $ AB = DC $ et $ AD = BC $.
- Angles opposés de même mesure : dans $ ABCD $, on a $ \widehat{BAD} = \widehat{BCD} $ et $ \widehat{ABC} = \widehat{ADC} $.
- Diagonales qui se coupent en leur milieu : le point d'intersection $ O $ est le milieu des deux diagonales, donc $ OA = OC $ et $ OB = OD $.
Remarque
Identifier d'abord la figure : faire un dessin à main levée, placer les mesures connues, puis repérer quels côtés sont opposés et quelles sont les diagonales. La propriété à appliquer en dépend.
Exemples
Calculer des longueurs de côtés
$ TOUR $ est un parallélogramme tel que $ TO = 5 $ cm et $ OU = 2{,}5 $ cm. Déterminer les longueurs $ TR $ et $ RU $.
Étape 1 : Faire une figure à main levée. Dans $ TOUR $, les côtés consécutifs sont $ [TO] $, $ [OU] $, $ [UR] $, $ [RT] $.
Étape 2 : Identifier les côtés opposés :
- $ [TO] $ est opposé à $ [UR] $ (et donc à $ [RU] $) ;
- $ [OU] $ est opposé à $ [RT] $ (et donc à $ [TR] $).
Étape 3 : Les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur, donc :
$ RU = TO = 5 $ cm et $ TR = OU = 2{,}5 $ cm.
Calculer un angle
$ MNPQ $ est un parallélogramme tel que $ \widehat{NMQ} = 65° $. Déterminer $ \widehat{NPQ} $.
Étape 1 : Faire une figure à main levée. Les angles opposés dans $ MNPQ $ sont :
- $ \widehat{NMQ} $ opposé à $ \widehat{NPQ} $ ;
- $ \widehat{MNP} $ opposé à $ \widehat{MQP} $.
Étape 2 : Les angles opposés d'un parallélogramme ont la même mesure, donc :
$ \widehat{NPQ} = \widehat{NMQ} = 65° $.
Calculer une longueur avec les diagonales
$ ABCD $ est un parallélogramme de centre $ O $ tel que $ OA = 4 $ cm et $ BD = 6 $ cm. Déterminer $ AC $ et $ OB $.
Étape 1 : Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc $ O $ est le milieu de $ [AC] $ et de $ [BD] $.
Étape 2 : Comme $ O $ est le milieu de $ [AC] $ :
$ AC = 2 \times OA = 2 \times 4 = 8 $ cm.
Étape 3 : Comme $ O $ est le milieu de $ [BD] $ :
$ OB = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 $ cm.
Calculer le périmètre
$ EFGH $ est un parallélogramme tel que $ EF = 7{,}2 $ cm et $ FG = 4{,}5 $ cm. Calculer le périmètre de $ EFGH $.
Étape 1 : Les côtés opposés sont égaux : $ HG = EF = 7{,}2 $ cm et $ EH = FG = 4{,}5 $ cm.
Étape 2 : Le périmètre vaut :
$ P = EF + FG + GH + HE = 7{,}2 + 4{,}5 + 7{,}2 + 4{,}5 = 23{,}4 $ cm.
On peut aussi écrire : $ P = 2 \times (EF + FG) = 2 \times (7{,}2 + 4{,}5) = 2 \times 11{,}7 = 23{,}4 $ cm.
Attention
Bien nommer les sommets dans l'ordre : dans $ ABCD $, les diagonales sont $ [AC] $ et $ [BD] $, et les côtés sont $ [AB] $, $ [BC] $, $ [CD] $, $ [DA] $.
Ne pas confondre un côté avec une diagonale : une diagonale relie deux sommets opposés (non consécutifs).