Parallélogrammes
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1 - Définition et vocabulaire
Parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Lire un parallélogramme
Dans le parallélogramme $ ABCD $ ci-dessus :
- les côtés opposés sont $ [AB] $ et $ [DC] $ d'une part, $ [AD] $ et $ [BC] $ d'autre part ;
- les droites $ (AB) $ et $ (DC) $ sont parallèles ;
- les droites $ (AD) $ et $ (BC) $ sont parallèles.
Remarque
Les sommets d'un parallélogramme se nomment toujours dans l'ordre, en tournant autour de la figure. Ainsi $ ABCD $ et $ ABDC $ ne désignent pas le même quadrilatère.
2 - Propriétés du parallélogramme
Côtés opposés
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur.
Dans le parallélogramme $ ABCD $ : $ AB = DC $ et $ AD = BC $.
Angles opposés
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure.
Dans le parallélogramme $ ABCD $ : $ \widehat{BAD} = \widehat{BCD} $ et $ \widehat{ABC} = \widehat{ADC} $.
Diagonales
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
Le point d'intersection des diagonales est appelé le centre du parallélogramme.
Utiliser les longueurs
$ EFGH $ est un parallélogramme avec $ EF = 6 $ cm et $ FG = 4{,}5 $ cm.
Les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur, donc :
$ HG = EF = 6 $ cm et $ EH = FG = 4{,}5 $ cm.
Utiliser les diagonales
$ MNPQ $ est un parallélogramme de centre $ O $ avec $ OM = 3 $ cm et $ ON = 2{,}5 $ cm.
Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc $ O $ est le milieu de $ [MP] $ et de $ [NQ] $.
On a donc :
$ MP = 2 \times OM = 2 \times 3 = 6 $ cm et $ NQ = 2 \times ON = 2 \times 2{,}5 = 5 $ cm.
Attention
Dans un parallélogramme quelconque, les diagonales ne sont pas égales et ne sont pas perpendiculaires. Ces particularités caractérisent certains parallélogrammes : le rectangle et le losange.
3 - Reconnaître un parallélogramme
Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on peut utiliser l'une des trois propriétés suivantes.
Reconnaître avec les diagonales
Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Reconnaître avec les côtés opposés
Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés deux à deux de même longueur, alors c'est un parallélogramme.
Reconnaître avec deux côtés
Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme.
Avec les diagonales
$ RSTU $ est un quadrilatère dont les diagonales $ [RT] $ et $ [SU] $ se coupent en un point $ I $ tel que $ I $ est le milieu de $ [RT] $ et le milieu de $ [SU] $.
Les diagonales se coupent en leur milieu, donc $ RSTU $ est un parallélogramme.
Avec deux côtés opposés
$ ABCD $ est un quadrilatère non croisé tel que $ [AB] $ et $ [DC] $ sont parallèles et $ AB = DC = 5 $ cm.
Deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur, donc $ ABCD $ est un parallélogramme.
Attention
La précision « non croisé » est importante : un quadrilatère croisé peut avoir ses côtés opposés de même longueur sans être un parallélogramme.
4 - Parallélogrammes particuliers
Rectangle
Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Losange
Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.
Carré
Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
Les parallélogrammes particuliers
Un rectangle, un losange et un carré sont des parallélogrammes. Ils possèdent donc toutes les propriétés du parallélogramme.
Caractérisation par les diagonales
On reconnaît un parallélogramme particulier grâce à ses diagonales :
- un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle ;
- un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange ;
- un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur et perpendiculaires est un carré.
Reconnaître avec les diagonales
$ ABCD $ est un parallélogramme dont les diagonales $ [AC] $ et $ [BD] $ se coupent en leur milieu $ O $ et sont perpendiculaires.
Ses diagonales étant perpendiculaires, $ ABCD $ est un losange.
Remarque
Un carré est à la fois un rectangle (il a quatre angles droits) et un losange (il a quatre côtés de même longueur). Le carré est le seul quadrilatère qui cumule ces deux familles.
Un carré est un losange
Soit $ IJKL $ un carré de côté $ 4 $ cm. Tous ses côtés mesurent $ 4 $ cm, donc $ IJKL $ a quatre côtés de même longueur : c'est un losange.
5 - Construire un parallélogramme
Pour construire un parallélogramme, on utilise soit la définition, soit une de ses propriétés.
Deux méthodes courantes
- Avec les côtés parallèles (définition) : on utilise la règle et l'équerre pour tracer des parallèles.
- Avec les côtés opposés de même longueur (propriété) : on utilise la règle et le compas pour reporter les longueurs.
Construire avec le compas
Construire le parallélogramme $ ABCD $ tel que $ AB = 6 $ cm, $ AD = 4 $ cm et $ \widehat{DAB} = 60° $.
Étape 1 : Tracer le segment $ [AB] $ de longueur $ 6 $ cm.
Étape 2 : Au point $ A $, tracer au rapporteur une demi-droite formant un angle de $ 60° $ avec $ [AB] $. Placer $ D $ sur cette demi-droite à $ 4 $ cm de $ A $.
Étape 3 : Les côtés opposés sont égaux. Avec le compas, tracer un arc de cercle de centre $ D $ et de rayon $ 6 $ cm, puis un arc de cercle de centre $ B $ et de rayon $ 4 $ cm. Le point $ C $ est à l'intersection des deux arcs.
Étape 4 : Tracer les segments $ [DC] $ et $ [BC] $.
Remarque
On peut aussi construire un parallélogramme à partir de ses diagonales : tracer les deux diagonales de sorte qu'elles se coupent en leur milieu, puis relier les quatre extrémités dans l'ordre.
Les questions essentielles
1. Comment construire un parallélogramme avec la règle et le compas ?
Tracer un premier côté, puis utiliser les propriétés : côtés opposés de même longueur (compas) ou côtés parallèles (règle et équerre). Pour un parallélogramme défini par un angle, reporter l'angle au rapporteur avant.
Voir la fiche méthode : Construire un parallélogramme
2. Comment calculer une longueur ou un angle dans un parallélogramme ?
Identifier les côtés opposés (mêmes longueurs), les angles opposés (mêmes mesures) et les diagonales (elles se coupent en leur milieu), puis appliquer la propriété adaptée.
Voir la fiche méthode : Calculer une longueur ou un angle dans un parallélogramme
3. Comment démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme ?
Choisir l'une des trois propriétés réciproques selon les données : diagonales qui se coupent en leur milieu, côtés opposés deux à deux de même longueur, ou deux côtés opposés parallèles et de même longueur.
Voir la fiche méthode : Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
4. Comment reconnaître un rectangle, un losange ou un carré ?
Vérifier les angles droits (rectangle), l'égalité des quatre côtés (losange), ou les deux à la fois (carré). Ces trois figures sont des parallélogrammes particuliers.
Voir la fiche méthode : Reconnaître un parallélogramme particulier