Cerf-volant : démontrer un parallélogramme avec les diagonales
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Pour fabriquer un cerf-volant, Léo plante deux baguettes rigides $ [VN] $ et $ [ET] $ qui se croisent en un point $ I $. Il prend soin de placer le clou de fixation au point $ I $ de telle sorte que :
- $ I $ soit le milieu de $ [VN] $, avec $ VI = IN = 24 $ cm ;
- $ I $ soit le milieu de $ [ET] $, avec $ EI = IT = 18 $ cm.
Il tend ensuite la toile en reliant les quatre extrémités pour former le quadrilatère $ VENT $.
- Démontrer que le quadrilatère $ VENT $ est un parallélogramme.
- En déduire que les côtés $ [VE] $ et $ [TN] $ sont parallèles et de même longueur. Citer une autre paire de côtés ayant la même propriété.
- Calculer la longueur totale des deux baguettes utilisées par Léo.
Corrigé
- Les deux diagonales du quadrilatère $ VENT $ sont $ [VN] $ et $ [ET] $. D'après l'énoncé, le point $ I $ est à la fois le milieu de $ [VN] $ et le milieu de $ [ET] $.
Les diagonales se coupent donc en leur milieu commun $ I $. On applique la propriété de reconnaissance par les diagonales :
« Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. »
On en déduit que $ VENT $ est un parallélogramme de centre $ I $. Comme $ VENT $ est un parallélogramme, ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et de même longueur.
- $ [VE] $ et $ [TN] $ sont des côtés opposés : ils sont donc parallèles et de même longueur.
- $ [VT] $ et $ [EN] $ sont également des côtés opposés : ils sont parallèles et de même longueur.
La longueur de la baguette $ [VN] $ est :
$ VN = VI + IN = 24 + 24 = 48 $ cm.La longueur de la baguette $ [ET] $ est :
$ ET = EI + IT = 18 + 18 = 36 $ cm.La longueur totale des deux baguettes est donc :
$ VN + ET = 48 + 36 $ = $ 84 $ cm.