Deux points sur des côtés opposés d’un parallélogramme

1. Le point $ M $ appartient au segment $ [AB] $, donc $ M $ est sur la droite $ (AB) $. De même, $ N $ appartient à $ [CD] $, donc $ N $ est sur la droite $ (CD) $.
   $ ABCD $ est un parallélogramme : ses côtés opposés $ [AB] $ et $ [DC] $ sont donc parallèles, autrement dit $ (AB) $ et $ (CD) $ sont parallèles.
   Comme $ (AM) \subset (AB) $ et $ (CN) \subset (CD) $, on en déduit que $ (AM) $ et $ (CN) $ sont parallèles.
   De plus, par construction, $ AM = CN = 2 $ cm. Les segments $ [AM] $ et $ [CN] $ sont donc parallèles et de même longueur.
2. Dans le quadrilatère $ AMCN $, les côtés $ [AM] $ et $ [CN] $ sont opposés. On vient de montrer qu'ils sont parallèles et de même longueur.
   On applique la propriété de reconnaissance :
   « Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme. »
   On en déduit que $ AMCN $ est un parallélogramme.
3. Comme $ AMCN $ est un parallélogramme, ses diagonales $ [AC] $ et $ [MN] $ se coupent en leur milieu (propriété du parallélogramme).
   Notons $ O' $ ce milieu commun : $ O' $ est à la fois le milieu de $ [AC] $ et le milieu de $ [MN] $.
4. Dans le parallélogramme $ ABCD $, les diagonales $ [AC] $ et $ [BD] $ se coupent en leur milieu, qui est par définition le centre $ O $ du parallélogramme. En particulier, $ O $ est le milieu de $ [AC] $.
   Or, d'après la question précédente, $ O' $ est aussi le milieu de $ [AC] $. Un segment n'a qu'un seul milieu, donc $ O' = O $.
   On en conclut que $ O $ est le milieu de $ [MN] $ : le segment $ [MN] $ passe bien par le centre $ O $ du parallélogramme $ ABCD $.

Conclusion : dès que l'on prend deux points $ M $ et $ N $ sur deux côtés opposés d'un parallélogramme tels que $ AM = CN $, la droite $ (MN) $ passe automatiquement par le centre du parallélogramme. C'est une propriété qui sera revue dans le chapitre sur la symétrie centrale.