Calculer une distance entre deux points
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Dans un repère orthonormé, pour calculer la distance entre deux points $ A(x_A ~;~ y_A) $ et $ B(x_B ~;~ y_B) $ :
- Étape 1 : Calculer les différences de coordonnées : $ x_B - x_A $ et $ y_B - y_A $.
- Étape 2 : Calculer la somme des carrés : $ (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 $.
- Étape 3 : Prendre la racine carrée.
On obtient :
Calcul direct d'une distance
Dans un repère orthonormé, on considère les points $ A(1 ~;~ -2) $ et $ B(4 ~;~ 2) $.
Calculer la distance $ AB $.
Solution
Étape 1 : On calcule les différences de coordonnées.
$ x_B - x_A = 4 - 1 = 3 $
$ y_B - y_A = 2 - (-2) = 4 $
Étape 2 : On calcule la somme des carrés.
$ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $
Étape 3 : On prend la racine carrée.
Nature d'un triangle
Dans un repère orthonormé, on considère les points $ A(-1 ~;~ 1) $, $ B(2 ~;~ 5) $ et $ C(6 ~;~ 2) $.
Déterminer la nature du triangle $ ABC $.
Solution
On calcule les trois distances.
$ AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $
$ AC = \sqrt{(6 - (-1))^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} $
$ BC = \sqrt{(6 - 2)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $
On constate que $ AB = BC = 5 $, donc le triangle $ ABC $ est isocèle en $ B $.
Vérifions s'il est rectangle. Le plus grand côté est $ AC $, on teste l'égalité de Pythagore :
$ AB^2 + BC^2 = 25 + 25 = 50 $
$ AC^2 = 50 $
On a $ AB^2 + BC^2 = AC^2 $, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ ABC $ est rectangle en $ B $.
Le triangle $ ABC $ est rectangle isocèle en $ B $.
Attention
- La formule de la distance ne s'applique que dans un repère orthonormé (pas seulement orthogonal).
- Ne pas oublier la racine carrée : $ AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 $ mais $ AB = \sqrt{...} $.
- Il est souvent plus pratique de comparer les $ AB^2 $ plutôt que les $ AB $ pour éviter les racines carrées (comme dans l'exemple 2 avec Pythagore).