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Vecteurs et coordonnées Exercices

Distance et nature d’un triangle

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(0~;~4) $, $ B(3~;~0) $ et $ C(-1~;~-3) $.

  1. Calculer les longueurs $ AB $, $ BC $ et $ AC $.
  2. Montrer que le triangle $ ABC $ est isocèle. Préciser en quel sommet.
  3. Montrer que le triangle $ ABC $ est rectangle. Préciser en quel sommet.
  4. Calculer les coordonnées du milieu $ I $ de $ [AC] $. Calculer la distance $ IB $ et comparer avec $ IA $.

Corrigé

  1. On utilise la formule de distance : $ MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} $.

    $ AB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $

    $ BC = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $

    $ AC = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (-3 - 4)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $

    Repère orthonormé avec le triangle ABC rectangle isocèle en B

  2. On a $ AB = BC = 5 $.

    Le triangle $ ABC $ est isocèle en $ B $.

  3. On compare $ AB^2 + BC^2 $ et $ AC^2 $ :

    $ AB^2 + BC^2 = 25 + 25 = 50 $
    $ AC^2 = (\sqrt{50})^2 = 50 $

    On a $ AB^2 + BC^2 = AC^2 $.

    D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ ABC $ est rectangle en $ B $.

    Le triangle $ ABC $ est donc rectangle isocèle en $ B $.

  4. Les coordonnées du milieu $ I $ de $ [AC] $ sont :

    $ I\left(\dfrac{0 + (-1)}{2}~;~\dfrac{4 + (-3)}{2}\right) = I\left(-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right) $

    Calculons la distance $ IB $ :

    $ IB = \sqrt{\left(3 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)^2 + \left(0 - \dfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\dfrac{7}{2}\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{49}{4} + \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{50}{4}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} $

    Calculons $ IA $ :

    $ IA = \sqrt{\left(0 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)^2 + \left(4 - \dfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{49}{4}} = \sqrt{\dfrac{50}{4}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} $

    On a $\mathbf{IB = IA = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} = \dfrac{AC}{2}}$.

    Le milieu de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est équidistant des trois sommets : c'est le centre du cercle circonscrit au triangle.

→ Pour réviser : Calculer une distance entre deux points