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Vecteurs et coordonnées Exercices

Losange et diagonales

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(1~;~-1) $, $ B(4~;~3) $, $ C(1~;~7) $ et $ D(-2~;~3) $.

  1. Calculer les longueurs $ AB $, $ BC $, $ CD $ et $ DA $.
  2. Quelle est la nature du quadrilatère $ ABCD $ ?
  3. Calculer les coordonnées des milieux $ I $ de $ [AC] $ et $ J $ de $ [BD] $. Que constate-t-on ?
  4. Calculer l'aire du losange $ ABCD $.
  5. Le quadrilatère $ ABCD $ est-il un carré ? Justifier.

Corrigé

  1. On calcule chaque longueur :

    $ AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $

    $ BC = \sqrt{(1 - 4)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $

    $ CD = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $

    $ DA = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $

  2. Les quatre côtés sont de même longueur : $ AB = BC = CD = DA = 5 $.

    Le quadrilatère $ ABCD $ est un losange.

    Repère orthonormé avec le losange ABCD

  3. Les coordonnées du milieu $ I $ de $ [AC] $ sont :

    $ I\left(\dfrac{1 + 1}{2}~;~\dfrac{-1 + 7}{2}\right) = I(1~;~3) $

    Les coordonnées du milieu $ J $ de $ [BD] $ sont :

    $ J\left(\dfrac{4 + (-2)}{2}~;~\dfrac{3 + 3}{2}\right) = J(1~;~3) $

    Les points $ I $ et $ J $ sont confondus : les diagonales $ [AC] $ et $ [BD] $ se coupent en leur milieu $ I(1~;~3) $.
    Ce résultat est cohérent : un losange est un parallélogramme, et les diagonales d'un parallélogramme se coupent toujours en leur milieu.

  4. Calculons les longueurs des diagonales :

    $ AC = \sqrt{(1 - 1)^2 + (7 - (-1))^2} = \sqrt{0 + 64} = 8 $
    $ BD = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{36 + 0} = 6 $

    L'aire d'un losange est donnée par la formule :

    $ \mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2} $

    où $ d_1 $ et $ d_2 $ sont les longueurs des diagonales.

    $ \mathcal{A} = \dfrac{AC \times BD}{2} = \dfrac{8 \times 6}{2} = 24 $

    L'aire du losange $ ABCD $ est $ 24 $ unités d'aire.

  5. Un carré est un losange dont les diagonales sont de même longueur.

    Or $ AC = 8 \neq 6 = BD $ : les diagonales n'ont pas la même longueur.

    Donc $ ABCD $ n'est pas un carré.