Calculer les coordonnées d’un vecteur
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Pour calculer les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $ connaissant les coordonnées des points $ A(x_A ~;~ y_A) $ et $ B(x_B ~;~ y_B) $ :
- Étape 1 : Calculer l'abscisse du vecteur : $ x_B - x_A $.
- Étape 2 : Calculer l'ordonnée du vecteur : $ y_B - y_A $.
On obtient :
Calcul direct
Dans un repère orthonormé, on considère les points $ A(3 ~;~ -2) $ et $ B(-1 ~;~ 5) $.
Calculer les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $.
Solution
Étape 1 : On calcule l'abscisse : $ x_B - x_A = -1 - 3 = -4 $.
Étape 2 : On calcule l'ordonnée : $ y_B - y_A = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 $.
Vérifier l'égalité de deux vecteurs
Dans un repère orthonormé, on considère les points $ A(1 ~;~ 2) $, $ B(4 ~;~ 5) $, $ C(-2 ~;~ 0) $ et $ D(1 ~;~ 3) $.
Montrer que $ ABDC $ est un parallélogramme.
Solution
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont le même milieu, ou de façon équivalente, si deux côtés opposés sont définis par des vecteurs égaux.
Montrons que $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} $.
On calcule les coordonnées de $ \overrightarrow{AB} $ :
$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 5 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} $
On calcule les coordonnées de $ \overrightarrow{CD} $ :
$ \overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 1 - (-2) \\ 3 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} $
Les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{CD} $ ont les mêmes coordonnées, donc $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} $.
$ ABDC $ est donc un parallélogramme.
Remarque
Opérations sur les coordonnées
Si $ \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ et $ \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} $, alors :
$ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix} $ et $ k\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix} $
Attention
L'ordre de la soustraction est important : on calcule arrivée moins départ.
Pour $ \overrightarrow{AB} $, on fait $ B - A $ (et non $ A - B $).