Coordonnées de vecteurs et parallélogramme
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Exercices
Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(1~;~3) $, $ B(4~;~1) $, $ C(5~;~3) $ et $ D(2~;~5) $.
- Calculer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{DC} $.
- Que peut-on en déduire pour le quadrilatère $ ABCD $ ?
- Calculer les coordonnées du milieu de $ [AC] $ et du milieu de $ [BD] $. Que constate-t-on ?
Corrigé
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $ sont :
$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} $
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{DC} $ sont :
$ \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} x_C - x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} $
On constate que $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $.
Deux vecteurs égaux signifient que les segments $ [AB] $ et $ [DC] $ sont parallèles et de même longueur. Le quadrilatère $ ABCD $ est donc un parallélogramme.
Les coordonnées du milieu de $ [AC] $ sont :
$ \left(\dfrac{x_A + x_C}{2}~;~\dfrac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\dfrac{1 + 5}{2}~;~\dfrac{3 + 3}{2}\right) = (3~;~3) $
Les coordonnées du milieu de $ [BD] $ sont :
$ \left(\dfrac{x_B + x_D}{2}~;~\dfrac{y_B + y_D}{2}\right) = \left(\dfrac{4 + 2}{2}~;~\dfrac{1 + 5}{2}\right) = (3~;~3) $
Les milieux de $ [AC] $ et de $ [BD] $ sont confondus. Les diagonales du parallélogramme se coupent en leur milieu, ce qui confirme le résultat de la question 2.
→ Pour réviser : Calculer les coordonnées du milieu d'un segment