Calculer les coordonnées du milieu d’un segment
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Pour calculer les coordonnées du milieu $ I $ du segment $ [AB] $ connaissant $ A(x_A ~;~ y_A) $ et $ B(x_B ~;~ y_B) $ :
- Étape 1 : Calculer l'abscisse du milieu : $ \dfrac{x_A + x_B}{2} $.
- Étape 2 : Calculer l'ordonnée du milieu : $ \dfrac{y_A + y_B}{2} $.
On obtient :
Calcul direct du milieu
Dans un repère orthonormé, on considère les points $ A(-3 ~;~ 4) $ et $ B(5 ~;~ -2) $.
Calculer les coordonnées du milieu $ I $ du segment $ [AB] $.
Solution
Étape 1 : On calcule l'abscisse du milieu :
$ x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2} = \dfrac{-3 + 5}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 $
Étape 2 : On calcule l'ordonnée du milieu :
$ y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2} = \dfrac{4 + (-2)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 $
Retrouver un point symétrique
On connaît $ A(2 ~;~ -1) $ et $ I(3 ~;~ 4) $ milieu de $ [AB] $.
Déterminer les coordonnées de $ B $.
Solution
$ I $ est le milieu de $ [AB] $, donc :
$ x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2} $ et $ y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2} $
On isole $ x_B $ et $ y_B $ :
$ x_B = 2x_I - x_A = 2 \times 3 - 2 = 4 $
$ y_B = 2y_I - y_A = 2 \times 4 - (-1) = 8 + 1 = 9 $
Vérification : $ \dfrac{2 + 4}{2} = 3 = x_I $ et $ \dfrac{-1 + 9}{2} = 4 = y_I $. C'est bien le cas.
Attention
Erreurs fréquentes
- Oublier de diviser par 2 : le milieu n'est pas $ (x_A + x_B ~;~ y_A + y_B) $ mais $ \left(\dfrac{x_A + x_B}{2} ~;~ \dfrac{y_A + y_B}{2}\right) $.
- Soustraire au lieu d'additionner : la formule du milieu utilise une somme (ne pas confondre avec la formule des coordonnées d'un vecteur qui utilise une différence).
Remarque
Pour retrouver un symétrique, on peut aussi utiliser la relation vectorielle : si $ I $ est le milieu de $ [AB] $, alors $ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} $, ce qui donne $ \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI} $.