Calculer la dérivée seconde d’une fonction
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Pour calculer la dérivée seconde $f^{\prime\prime}$ d'une fonction $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ :
- Étape 1 : identifier le type de $f$ (polynôme, rationnelle, exponentielle…) et préciser l'intervalle $I$ sur lequel $f$ est dérivable.
- Étape 2 : calculer la dérivée première $f^{\prime}(x)$ avec les formules usuelles et les opérations (somme, produit, quotient).
- Étape 3 : appliquer à nouveau les mêmes règles pour dériver $f^{\prime}$ et obtenir $f^{\prime\prime}(x)$.
- Étape 4 : simplifier l'expression de $f^{\prime\prime}(x)$ (factoriser, mettre au même dénominateur).
Formules de dérivation utiles : $(x^n)^{\prime} = n\,x^{n-1}$, $\left(\dfrac{1}{x}\right)^{\prime} = -\dfrac{1}{x^2}$, $\left(\text{e}^{ax+b}\right)^{\prime} = a\,\text{e}^{ax+b}$. Pour un quotient : $\left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$.
Fonction polynôme
Calculer la dérivée seconde de $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 4$ sur $\mathbb{R}$.
Étape 1 : $f$ est un polynôme, donc deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
Étape 2 : on dérive terme à terme :
Étape 3 : on dérive à nouveau :
Étape 4 : l'expression est déjà simplifiée. On conclut :
Fonction rationnelle
Calculer la dérivée seconde de $g(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
Étape 1 : $g$ est une fonction rationnelle deux fois dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$.
Étape 2 : on utilise $\left(\dfrac{1}{x}\right)^{\prime} = -\dfrac{1}{x^2}$ :
Étape 3 : on dérive $-x^{-2}$ avec $(x^n)^{\prime} = n\,x^{n-1}$ pour $n = -2$ :
Étape 4 : on revient à l'écriture fractionnaire :
Fonction exponentielle composée
Calculer la dérivée seconde de $h(x) = \text{e}^{-2x+1}$ sur $\mathbb{R}$.
Étape 1 : $h$ est de la forme $\text{e}^{ax+b}$ avec $a = -2$ et $b = 1$, deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
Étape 2 : on applique $\left(\text{e}^{ax+b}\right)^{\prime} = a\,\text{e}^{ax+b}$ :
Étape 3 : on dérive à nouveau ; le facteur constant $-2$ se conserve :
Étape 4 : on conclut :
Remarque
Pour une fonction du type $\text{e}^{ax+b}$, dériver $n$ fois revient à multiplier par $a^n$ : $\left(\text{e}^{ax+b}\right)^{(n)} = a^n\,\text{e}^{ax+b}$. C'est une astuce utile pour obtenir directement $f^{\prime\prime}$ sans passer explicitement par $f^{\prime}$.
Attention
Ne pas confondre $f^{\prime\prime}(x)$ (la dérivée de la dérivée) avec $\left(f^{\prime}(x)\right)^2$ (le carré de la dérivée). Les deux quantités n'ont rien à voir.
Pour les fractions rationnelles, il est souvent plus simple de réécrire $\dfrac{1}{x^n}$ sous la forme $x^{-n}$ avant de dériver, plutôt que d'appliquer la formule du quotient.