Montrer que deux droites sont parallèles avec les coordonnées
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Pour montrer que deux droites sont parallèles à l'aide des coordonnées :
- Étape 1 : Déterminer un vecteur directeur de chaque droite.
- Étape 2 : Calculer le déterminant des deux vecteurs directeurs.
- Étape 3 : Si le déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires et les droites sont parallèles.
Définition
Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul qui a la même direction que cette droite.
Si la droite passe par les points $ A $ et $ B $, alors $ \overrightarrow{AB} $ est un vecteur directeur de cette droite.
Tester le parallélisme de deux droites
Dans un repère orthonormé, on considère les droites $ (d_1) $ passant par $ A(1 ~;~ 3) $ et $ B(4 ~;~ 9) $, et $ (d_2) $ passant par $ C(-2 ~;~ 1) $ et $ D(0 ~;~ 5) $.
Les droites $ (d_1) $ et $ (d_2) $ sont-elles parallèles ?
Solution
Étape 1 : On détermine un vecteur directeur de chaque droite.
$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 9 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} $ est un vecteur directeur de $ (d_1) $.
$ \overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 0 - (-2) \\ 5 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} $ est un vecteur directeur de $ (d_2) $.
Étape 2 : On calcule le déterminant.
Étape 3 : Le déterminant est nul, donc les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{CD} $ sont colinéaires.
Les droites $ (d_1) $ et $ (d_2) $ sont parallèles.
Nature d'un quadrilatère
Dans un repère orthonormé, on considère les points $ A(0 ~;~ 0) $, $ B(6 ~;~ 0) $, $ C(4 ~;~ 3) $ et $ D(1 ~;~ 3) $.
Montrer que $ ABCD $ est un trapèze.
Solution
Un trapèze est un quadrilatère qui possède exactement une paire de côtés parallèles. Testons les deux paires de côtés opposés.
Côtés $ [AB] $ et $ [DC] $ :
$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix} $ et $ \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 3 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} $
Le déterminant est nul : les droites $ (AB) $ et $ (DC) $ sont parallèles.
Côtés $ [AD] $ et $ [BC] $ :
$ \overrightarrow{AD} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} $ et $ \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} $
Le déterminant est non nul : les droites $ (AD) $ et $ (BC) $ ne sont pas parallèles.
$ ABCD $ possède exactement une paire de côtés parallèles ($ [AB] \parallel [DC] $).
$ ABCD $ est donc un trapèze.
Remarque
Parallèle et alignement : la méthode est la même pour tester le parallélisme de deux droites et l'alignement de trois points. Dans les deux cas, on calcule un déterminant et on vérifie s'il est nul.
- Déterminant nul : les droites sont parallèles (ou confondues).
- Déterminant non nul : les droites sont sécantes.