Triangles : inégalité, angles, cas d’égalité
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1 - Inégalité triangulaire
Inégalité triangulaire
Dans un triangle (non aplati), la longueur de chaque côté est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Dans un triangle $ ABC $, on a :
$ AB < AC + CB $, $ AC < AB + BC $ et $ BC < BA + AC $.
Condition de construction d'un triangle
Trois longueurs permettent de construire un triangle si et seulement si la plus grande des trois est strictement inférieure à la somme des deux autres.
Si la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres, les trois points sont alignés et le triangle est aplati.
Triangle constructible
Peut-on construire un triangle de côtés $ 4 $ cm, $ 7 $ cm et $ 5 $ cm ?
La plus grande longueur est $ 7 $. La somme des deux autres est $ 4 + 5 = 9 $.
Comme $ 7 < 9 $, le triangle est constructible.
Triangle non constructible
Peut-on construire un triangle de côtés $ 3 $ cm, $ 4 $ cm et $ 8 $ cm ?
La plus grande longueur est $ 8 $. La somme des deux autres est $ 3 + 4 = 7 $.
Comme $ 8 > 7 $, le triangle n'est pas constructible.
Attention
Il suffit de tester l'inégalité avec la plus grande longueur. Si $ \ell_{\text{max}} < \ell_1 + \ell_2 $, alors les deux autres inégalités sont automatiquement vraies.
Angles et côtés d'un triangle
Dans un triangle, au plus grand angle est opposé le plus grand côté (et réciproquement, au plus grand côté est opposé le plus grand angle). Deux côtés de même longueur sont opposés à deux angles de même mesure : c'est le cas du triangle isocèle.
2 - Construire un triangle
Trois façons de déterminer un triangle
Un triangle peut être construit à partir de trois données :
- ses trois côtés (méthode CCC),
- deux côtés et l'angle qu'ils forment (méthode CAC),
- un côté et les deux angles adjacents à ce côté (méthode ACA).
Construire avec trois côtés (CCC)
Construire le triangle $ ABC $ tel que $ AB = 6 $ cm, $ AC = 4 $ cm et $ BC = 5 $ cm.
Étape 1 : Tracer le segment $ [AB] $ de longueur $ 6 $ cm.
Étape 2 : Tracer le cercle de centre $ A $ et de rayon $ 4 $ cm.
Étape 3 : Tracer le cercle de centre $ B $ et de rayon $ 5 $ cm.
Étape 4 : Placer $ C $ à l'intersection des deux cercles, puis tracer $ [AC] $ et $ [BC] $.
Construire avec deux côtés et un angle (CAC)
Construire le triangle $ DEF $ tel que $ DE = 5 $ cm, $ DF = 4 $ cm et $ \widehat{EDF} = 60° $.
Étape 1 : Tracer le segment $ [DE] $ de longueur $ 5 $ cm.
Étape 2 : Tracer au rapporteur une demi-droite issue de $ D $ formant un angle de $ 60° $ avec $ [DE] $.
Étape 3 : Sur cette demi-droite, placer le point $ F $ à $ 4 $ cm de $ D $.
Étape 4 : Tracer le segment $ [EF] $.
Construire avec un côté et deux angles (ACA)
Construire le triangle $ MNP $ tel que $ MN = 6 $ cm, $ \widehat{NMP} = 50° $ et $ \widehat{MNP} = 40° $.
Étape 1 : Tracer le segment $ [MN] $ de longueur $ 6 $ cm.
Étape 2 : Au point $ M $, tracer une demi-droite formant un angle de $ 50° $ avec $ [MN] $.
Étape 3 : Au point $ N $, tracer une demi-droite formant un angle de $ 40° $ avec $ [NM] $, du même côté de $ (MN) $.
Étape 4 : Le point $ P $ est à l'intersection des deux demi-droites.
Condition de possibilité (ACA)
Pour que la construction ACA soit possible, la somme des deux angles donnés doit être strictement inférieure à $ 180° $ (sinon les deux demi-droites ne se coupent pas).
3 - Triangles particuliers
Triangle isocèle
Un triangle est isocèle s'il a deux côtés de même longueur. Le sommet commun à ces deux côtés s'appelle le sommet principal et le troisième côté est la base.
Propriétés du triangle isocèle
Si un triangle est isocèle, alors les deux angles à la base ont la même mesure.
Réciproquement, si un triangle a deux angles de même mesure, alors il est isocèle.
Exemple
Le triangle $ ABC $ est isocèle en $ A $, avec $ \widehat{ABC} = 72° $. Calculer $ \widehat{ACB} $ puis $ \widehat{BAC} $.
Les angles à la base sont $ \widehat{ABC} $ et $ \widehat{ACB} $, donc $ \widehat{ACB} = 72° $.
La somme des angles vaut $ 180° $ :
$ \widehat{BAC} = 180 - 72 - 72 = 36° $.
Triangle équilatéral
Un triangle est équilatéral si ses trois côtés ont la même longueur.
Angles d'un triangle équilatéral
Si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles mesurent chacun $ 60° $.
Réciproquement, si un triangle a ses trois angles égaux, alors il est équilatéral.
Exemple
Dans un triangle équilatéral $ RST $, on a immédiatement $ RS = ST = TR $ et $ \widehat{RST} = \widehat{STR} = \widehat{TRS} = 60° $.
Vérification : $ 60 + 60 + 60 = 180 $, la somme des angles vaut bien $ 180° $.
Triangle rectangle
Un triangle est rectangle s'il possède un angle droit. Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse ; c'est le plus long côté du triangle.
Angles aigus d'un triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut $ 90° $.
Exemple
Le triangle $ ABC $ est rectangle en $ A $ et $ \widehat{ABC} = 35° $. Calculer $ \widehat{ACB} $.
Les angles aigus $ \widehat{ABC} $ et $ \widehat{ACB} $ sont complémentaires :
$ \widehat{ACB} = 90 - 35 = 55° $.
Attention
Un triangle peut être rectangle et isocèle en même temps (angle droit et deux côtés égaux) ; ses deux angles aigus mesurent alors $ 45° $ chacun.
4 - Médiatrices et hauteurs d'un triangle
Médiatrice d'un segment (rappel)
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.
Médiatrices d'un triangle
Un triangle a trois côtés, donc trois médiatrices (une par côté).
Point de concours des médiatrices
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes (elles se coupent en un même point). Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle : c'est l'unique cercle qui passe par les trois sommets.
Hauteur d'un triangle
Dans un triangle, la hauteur issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement).
Un triangle a trois sommets, donc trois hauteurs.
Point de concours des hauteurs
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection s'appelle l'orthocentre du triangle.
Remarque
Dans un triangle isocèle de sommet principal $ A $, la hauteur issue de $ A $ est aussi la médiatrice du côté opposé $ [BC] $. Cette droite porte l'axe de symétrie du triangle.
5 - Cas d'égalité des triangles
Triangles égaux
Deux triangles sont égaux (ou superposables) lorsque leurs côtés sont deux à deux de même longueur et leurs angles deux à deux de même mesure.
Conséquence
Si deux triangles sont égaux, alors tous leurs éléments correspondants (côtés, angles) ont la même mesure.
Pour démontrer que deux triangles sont égaux, il suffit en réalité de vérifier trois informations bien choisies parmi leurs six mesures. Ce sont les cas d'égalité.
1er cas d'égalité (CCC : côté-côté-côté)
Si deux triangles ont leurs trois côtés deux à deux de même longueur, alors ils sont égaux.
Exemple
On considère deux triangles $ ABC $ et $ DEF $ tels que $ AB = DE = 5 $, $ BC = EF = 6 $ et $ AC = DF = 4 $.
Les trois côtés sont deux à deux égaux : les triangles $ ABC $ et $ DEF $ sont égaux (cas CCC).
2e cas d'égalité (CAC : côté-angle-côté)
Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés deux à deux de même longueur, alors ils sont égaux.
Exemple
Dans deux triangles $ ABC $ et $ DEF $, on sait que $ AB = DE $, $ AC = DF $ et $ \widehat{BAC} = \widehat{EDF} $.
L'angle est compris entre les deux côtés égaux : les triangles $ ABC $ et $ DEF $ sont égaux (cas CAC).
3e cas d'égalité (ACA : angle-côté-angle)
Si deux triangles ont un côté de même longueur, encadré par deux angles deux à deux de même mesure, alors ils sont égaux.
Exemple
Dans deux triangles $ ABC $ et $ DEF $, on sait que $ BC = EF $, $ \widehat{ABC} = \widehat{DEF} $ et $ \widehat{ACB} = \widehat{DFE} $.
Le côté est compris entre les deux angles égaux : les triangles $ ABC $ et $ DEF $ sont égaux (cas ACA).
Attention
Pour le cas CAC, l'angle doit être compris entre les deux côtés égaux (c'est-à-dire avoir ces deux côtés pour côtés). Si l'angle est ailleurs, le cas CAC ne s'applique pas.
Pour le cas ACA, le côté doit être encadré par les deux angles donnés.
Les questions essentielles
1. Comment vérifier que trois longueurs permettent de construire un triangle ?
Identifier la plus grande longueur et la comparer à la somme des deux autres. Si elle est strictement inférieure, le triangle est constructible.
Voir la fiche méthode : Vérifier qu'un triangle est constructible
2. Comment construire un triangle à la règle et au compas ?
Choisir la méthode selon les données : trois côtés (cercles de rayons donnés), deux côtés et un angle (rapporteur), un côté et deux angles (deux demi-droites issues des extrémités).
Voir la fiche méthode : Construire un triangle à partir de trois données
3. Comment utiliser les propriétés d'un triangle particulier ?
Identifier le type de triangle (isocèle, équilatéral, rectangle), puis appliquer la propriété correspondante : égalité de côtés, égalité d'angles à la base, angles complémentaires dans un rectangle…
Voir la fiche méthode : Utiliser les propriétés d'un triangle particulier
4. Comment tracer les médiatrices et les hauteurs d'un triangle ?
La médiatrice d'un côté passe par le milieu de ce côté perpendiculairement. La hauteur issue d'un sommet est la perpendiculaire au côté opposé passant par ce sommet.
Voir la fiche méthode : Tracer médiatrices et hauteurs d'un triangle
5. Comment démontrer que deux triangles sont égaux ?
Identifier trois informations correspondantes (longueurs et angles) et reconnaître le bon cas d'égalité : CCC, CAC (angle entre les deux côtés) ou ACA (côté entre les deux angles).
Voir la fiche méthode : Utiliser un cas d'égalité des triangles