Tracer médiatrices et hauteurs d’un triangle
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Dans un triangle, chaque côté possède une médiatrice (perpendiculaire au milieu du côté) et chaque sommet possède une hauteur (perpendiculaire au côté opposé).
Tracer la médiatrice d'un côté
- Ouvrir le compas d'une longueur plus grande que la moitié du côté.
- Tracer un arc de cercle de chaque extrémité du côté (deux arcs qui se croisent de part et d'autre).
- Relier les deux points d'intersection à la règle : on obtient la médiatrice.
Remarque
Il est aussi possible de tracer la médiatrice à l'équerre : placer la règle sur le côté, marquer le milieu, puis tracer la perpendiculaire à l'équerre en ce point.
Tracer la hauteur issue d'un sommet
- Poser l'équerre contre le côté opposé au sommet choisi.
- Faire glisser l'équerre le long du côté (ou de son prolongement) jusqu'à ce que le sommet soit sur le deuxième bord de l'équerre.
- Tracer la droite : c'est la hauteur issue de ce sommet.
Exemples
Médiatrice d'un côté
Dans le triangle $ ABC $, tracer la médiatrice du côté $ [BC] $.
Étape 1 : Ouvrir le compas avec une ouverture supérieure à la moitié de $ BC $.
Étape 2 : Tracer un arc de cercle de centre $ B $ au-dessus et en-dessous de $ [BC] $.
Étape 3 : Sans changer l'ouverture du compas, tracer un arc de cercle de centre $ C $ qui coupe les deux premiers arcs en deux points $ M $ et $ N $.
Étape 4 : Tracer la droite $ (MN) $ à la règle : c'est la médiatrice de $ [BC] $.
Vérification : la droite $ (MN) $ coupe $ [BC] $ en son milieu, perpendiculairement.
Hauteur issue d'un sommet
Dans le triangle $ ABC $, tracer la hauteur issue du sommet $ A $.
Étape 1 : Identifier le côté opposé à $ A $ : c'est le côté $ [BC] $.
Étape 2 : Poser l'équerre contre $ (BC) $ en alignant l'angle droit de l'équerre sur ce côté.
Étape 3 : Faire glisser l'équerre le long de $ (BC) $ jusqu'à ce que le second bord passe par $ A $.
Étape 4 : Tracer la droite passant par $ A $, perpendiculaire à $ (BC) $. On obtient la hauteur issue de $ A $.
Le point de rencontre entre la hauteur et le côté $ [BC] $ s'appelle le pied de la hauteur.
Cercle circonscrit au triangle
Construire le cercle qui passe par les trois sommets du triangle $ DEF $.
Étape 1 : Tracer la médiatrice de $ [DE] $.
Étape 2 : Tracer la médiatrice de $ [EF] $.
Étape 3 : Les deux médiatrices se coupent en un point $ O $ : c'est le centre du cercle circonscrit.
Étape 4 : Tracer le cercle de centre $ O $ et de rayon $ OD $. Il passe aussi par $ E $ et $ F $.
Attention
Dans un triangle obtus (un angle supérieur à $ 90° $), deux hauteurs coupent les prolongements des côtés, pas les côtés eux-mêmes. L'orthocentre se trouve alors à l'extérieur du triangle.
Ne pas confondre médiatrice (perpendiculaire à un côté qui passe par son milieu) et hauteur (perpendiculaire à un côté qui passe par le sommet opposé).