Utiliser les propriétés d’un triangle particulier
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Pour exploiter les propriétés d'un triangle particulier :
- Identifier le type du triangle (isocèle, équilatéral, rectangle).
Sortir la propriété correspondante :
- Isocèle en $ A $ : $ AB = AC $ et les angles à la base vérifient $ \widehat{ABC} = \widehat{ACB} $.
- Équilatéral : les trois côtés sont égaux et les trois angles valent $ 60° $.
- Rectangle en $ A $ : $ \widehat{BAC} = 90° $ et les deux angles aigus sont complémentaires.
- Écrire une équation puis la résoudre pour calculer la mesure demandée.
Exemples
Triangle isocèle
Le triangle $ RST $ est isocèle en $ R $ et $ \widehat{RST} = 68° $. Calculer $ \widehat{STR} $ et $ \widehat{TRS} $.
Étape 1 : Identifier les angles à la base. Le sommet principal est $ R $, donc la base est $ [ST] $ et les angles à la base sont $ \widehat{RST} $ et $ \widehat{STR} $.
Étape 2 : Appliquer la propriété : les angles à la base sont égaux, donc $ \widehat{STR} = \widehat{RST} = 68° $.
Étape 3 : Utiliser la somme des angles du triangle.
$ \widehat{TRS} = 180 - 68 - 68 $
$ \widehat{TRS} = 44° $.
Vérification : $ 44 + 68 + 68 = 180 $. L'angle au sommet principal vaut bien $ 44° $.
Triangle équilatéral
$ ABC $ est un triangle équilatéral et $ AB = 7 $ cm. Donner $ AC $, $ BC $ et les trois angles du triangle.
Étape 1 : Propriété des côtés d'un équilatéral. Les trois côtés sont égaux :
$ AC = BC = AB = 7 $ cm.
Étape 2 : Propriété des angles d'un équilatéral. Les trois angles mesurent $ 60° $ :
$ \widehat{BAC} = \widehat{ABC} = \widehat{BCA} = 60° $.
Triangle rectangle
Le triangle $ ABC $ est rectangle en $ A $ et $ \widehat{ABC} = 27° $. Calculer $ \widehat{ACB} $.
Étape 1 : Identifier les angles aigus du triangle rectangle. L'angle droit est $ \widehat{BAC} $, donc les angles aigus sont $ \widehat{ABC} $ et $ \widehat{ACB} $.
Étape 2 : Appliquer la propriété : les deux angles aigus sont complémentaires.
$ \widehat{ACB} = 90 - 27 $
$ \widehat{ACB} = 63° $.
Reconnaître un triangle équilatéral
Dans le triangle $ UVW $, on sait que $ \widehat{UVW} = 60° $ et $ \widehat{VWU} = 60° $. Montrer que $ UVW $ est équilatéral.
Étape 1 : Calculer le troisième angle.
$ \widehat{WUV} = 180 - 60 - 60 = 60° $.
Étape 2 : Les trois angles sont égaux à $ 60° $. D'après la réciproque, le triangle $ UVW $ est équilatéral.
Attention
Dans un triangle isocèle, seuls les angles à la base sont égaux (pas celui du sommet principal). Repérer d'abord le sommet principal évite les confusions.
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (somme $ 90° $) et non supplémentaires.