Construire un triangle à partir de trois données
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Pour construire un triangle, il faut trois données. Selon leur nature, la technique change.
- Trois côtés (CCC) : tracer un côté, puis utiliser deux arcs de cercle.
- Deux côtés et l'angle qu'ils forment (CAC) : tracer un côté, reporter l'angle au rapporteur puis la seconde longueur.
- Un côté et les deux angles adjacents (ACA) : tracer le côté, reporter un angle à chaque extrémité.
Remarque
Avant toute construction, vérifier que les données sont compatibles : pour CCC, l'inégalité triangulaire ; pour ACA, la somme des deux angles doit être strictement inférieure à $ 180° $.
Exemples
Construction avec trois côtés (CCC)
Construire le triangle $ ABC $ tel que $ AB = 7 $ cm, $ AC = 5 $ cm et $ BC = 4 $ cm.
Étape 1 : Vérifier la constructibilité. Plus grand côté $ 7 $ ; somme des autres $ 5 + 4 = 9 $. Comme $ 7 < 9 $, le triangle est constructible.
Étape 2 : Tracer le segment $ [AB] $ de longueur $ 7 $ cm à la règle graduée.
Étape 3 : Avec le compas, tracer un arc de cercle de centre $ A $ et de rayon $ 5 $ cm.
Étape 4 : Sans changer le compas sauf pour l'ouverture, tracer un arc de cercle de centre $ B $ et de rayon $ 4 $ cm.
Étape 5 : Le point $ C $ se trouve à l'intersection des deux arcs. Tracer les segments $ [AC] $ et $ [BC] $.
Construction avec deux côtés et un angle (CAC)
Construire le triangle $ DEF $ tel que $ DE = 6 $ cm, $ DF = 4 $ cm et $ \widehat{EDF} = 70° $.
Étape 1 : Tracer le segment $ [DE] $ de longueur $ 6 $ cm.
Étape 2 : Placer le rapporteur avec son centre sur $ D $ et son zéro aligné sur $ [DE] $. Marquer le point correspondant à $ 70° $.
Étape 3 : Tracer la demi-droite $ [DF) $ passant par ce point.
Étape 4 : Sur cette demi-droite, placer $ F $ à $ 4 $ cm de $ D $ à la règle graduée.
Étape 5 : Tracer le segment $ [EF] $.
Construction avec un côté et deux angles (ACA)
Construire le triangle $ MNP $ tel que $ MN = 5 $ cm, $ \widehat{NMP} = 55° $ et $ \widehat{MNP} = 45° $.
Étape 1 : Vérifier que $ 55 + 45 = 100 < 180 $ : la construction est possible.
Étape 2 : Tracer le segment $ [MN] $ de longueur $ 5 $ cm.
Étape 3 : Au point $ M $, construire au rapporteur une demi-droite formant un angle de $ 55° $ avec $ [MN] $.
Étape 4 : Au point $ N $, construire une demi-droite formant un angle de $ 45° $ avec $ [NM] $, du même côté de la droite $ (MN) $.
Étape 5 : Le point $ P $ est à l'intersection des deux demi-droites.
Attention
Pour CAC, le côté donné et le second côté doivent partir du sommet de l'angle. Sinon, la donnée est ambigüe et la construction n'est pas unique.
Pour ACA, les deux demi-droites doivent être tracées du même côté de la droite $ (MN) $, sinon elles ne se croisent pas.