Vérifier qu’un triangle est constructible
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Pour vérifier que trois longueurs permettent de construire un triangle, on utilise l'inégalité triangulaire.
- Repérer la plus grande des trois longueurs.
- Calculer la somme des deux autres.
- Comparer : si la plus grande longueur est strictement inférieure à cette somme, le triangle est constructible. Sinon, il ne l'est pas.
Remarque
Il suffit de faire une seule comparaison : celle qui porte sur la plus grande longueur. Si elle est vérifiée, les deux autres inégalités le sont automatiquement.
Exemples
Triangle constructible
Peut-on construire un triangle $ ABC $ tel que $ AB = 5 $ cm, $ AC = 6 $ cm et $ BC = 9 $ cm ?
Étape 1 : Repérer la plus grande longueur.
La plus grande est $ BC = 9 $ cm.
Étape 2 : Calculer la somme des deux autres.
$ AB + AC = 5 + 6 = 11 $.
Étape 3 : Comparer.
$ 9 < 11 $, donc $ BC < AB + AC $.
Le triangle est constructible.
Triangle non constructible
Peut-on construire un triangle de côtés $ 2 $ cm, $ 3 $ cm et $ 6 $ cm ?
Étape 1 : Plus grande longueur : $ 6 $ cm.
Étape 2 : Somme des deux autres : $ 2 + 3 = 5 $.
Étape 3 : $ 6 > 5 $, l'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée.
Le triangle n'est pas constructible.
Cas aplati
Peut-on construire un triangle de côtés $ 4 $ cm, $ 5 $ cm et $ 9 $ cm ?
Étape 1 : Plus grande longueur : $ 9 $ cm.
Étape 2 : Somme des deux autres : $ 4 + 5 = 9 $.
Étape 3 : $ 9 = 9 $ : il y a égalité.
Les trois points seraient alignés (triangle aplati). On considère que le triangle n'est pas constructible.
Attention
Il faut vérifier que la plus grande longueur est strictement inférieure (et non seulement inférieure ou égale) à la somme des deux autres. En cas d'égalité, les trois points sont alignés.