Utiliser un cas d’égalité des triangles
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Pour démontrer que deux triangles sont égaux :
- Relever trois informations (longueurs ou angles) communes aux deux triangles.
Reconnaître le bon cas d'égalité :
- CCC : les trois côtés sont deux à deux égaux.
- CAC : deux côtés deux à deux égaux et l'angle compris entre ces deux côtés est identique.
- ACA : un côté de même longueur encadré par deux angles deux à deux égaux.
- Rédiger la conclusion : les deux triangles sont égaux d'après le cas identifié.
Remarque
Une fois les triangles déclarés égaux, tous leurs éléments correspondants sont égaux : longueurs des trois côtés et mesures des trois angles. On peut ainsi déduire une nouvelle longueur ou un nouvel angle.
Exemples
Cas CCC
Soit deux triangles $ ABC $ et $ MNP $ tels que $ AB = MN = 6 $ cm, $ BC = NP = 4 $ cm et $ CA = PM = 5 $ cm. Démontrer qu'ils sont égaux.
Étape 1 : Relever les données. On connait les trois côtés des deux triangles.
Étape 2 : Comparer côte à côte.
$ AB = MN $, $ BC = NP $ et $ CA = PM $.
Étape 3 : Appliquer le cas d'égalité CCC.
Les trois côtés étant deux à deux égaux, les triangles $ ABC $ et $ MNP $ sont égaux.
Cas CAC
Dans la figure, les triangles $ ABC $ et $ DBC $ ont un côté $ [BC] $ commun, avec $ AB = DB $ et $ \widehat{ABC} = \widehat{DBC} $. Démontrer que ces triangles sont égaux.
Étape 1 : Relever les trois informations.
- $ AB = DB $.
- $ BC = BC $ (côté commun).
- $ \widehat{ABC} = \widehat{DBC} $.
Étape 2 : Vérifier la position de l'angle.
L'angle $ \widehat{ABC} $ est compris entre les côtés $ [AB] $ et $ [BC] $. L'angle $ \widehat{DBC} $ est compris entre les côtés $ [DB] $ et $ [BC] $. L'angle est donc bien entre les deux côtés égaux.
Étape 3 : Conclure par le cas CAC.
Les triangles $ ABC $ et $ DBC $ sont égaux d'après le cas CAC. On peut alors affirmer que $ AC = DC $.
Cas ACA
Soit deux triangles $ EFG $ et $ HIJ $ tels que $ EF = HI = 7 $ cm, $ \widehat{FEG} = \widehat{IHJ} = 40° $ et $ \widehat{EFG} = \widehat{HIJ} = 75° $. Démontrer qu'ils sont égaux.
Étape 1 : Relever les trois informations.
Un côté : $ EF = HI $.
Deux angles : $ \widehat{FEG} = \widehat{IHJ} $ et $ \widehat{EFG} = \widehat{HIJ} $.
Étape 2 : Vérifier la position du côté.
Le côté $ [EF] $ est encadré par les angles $ \widehat{FEG} $ (en $ E $) et $ \widehat{EFG} $ (en $ F $). Idem pour $ [HI] $. Le côté est bien entre les deux angles.
Étape 3 : Conclure par le cas ACA.
Les triangles $ EFG $ et $ HIJ $ sont égaux d'après le cas ACA.
Attention
Dans le cas CAC, l'angle doit être celui compris entre les deux côtés égaux. Si c'est un autre angle, le cas ne s'applique pas.
Dans le cas ACA, le côté doit être encadré par les deux angles donnés ; ses deux extrémités sont les sommets des angles.
Ne pas oublier que « les triangles sont égaux » signifie que tous leurs côtés et angles correspondants sont égaux : c'est ce qui sert ensuite à démontrer une égalité de longueurs ou d'angles.