Symétrie centrale
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1 - Rappel : la symétrie axiale
Symétrie axiale
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite $ (d) $ si elles se superposent quand on plie la feuille le long de cette droite. La droite $ (d) $ est appelée l'axe de symétrie.
Symétrique d'un point par rapport à une droite
Soit $ (d) $ une droite et $ A $ un point.
- Si $ A $ n'appartient pas à $ (d) $, alors le symétrique de $ A $ par rapport à $ (d) $ est le point $ A' $ tel que $ (d) $ est la médiatrice du segment $ [AA'] $.
- Si $ A $ appartient à $ (d) $, alors le symétrique de $ A $ par rapport à $ (d) $ est $ A $ lui-même.
Remarque
La symétrie axiale correspond à un pliage : on imagine que la feuille se replie sur elle-même le long de l'axe.
2 - Symétrie centrale : définition
Symétrie centrale
Deux figures sont symétriques par rapport à un point $ O $ si elles se superposent lorsqu'on effectue un demi-tour autour du point $ O $. Le point $ O $ est appelé le centre de symétrie.
Symétrique d'un point par rapport à un point
Soit $ O $ un point. Par la symétrie de centre $ O $ :
- le symétrique d'un point $ A $ distinct de $ O $ est le point $ A' $ tel que $ O $ est le milieu du segment $ [AA'] $ ;
- le symétrique du point $ O $ est $ O $ lui-même.
Lire une symétrie centrale
Sur la figure ci-dessous, les points $ M $ et $ M' $ sont symétriques par rapport au point $ O $. Cela signifie que $ O $ est le milieu du segment $ [MM'] $ : les points $ M $, $ O $ et $ M' $ sont alignés et $ OM = OM' $.
Attention
Ne pas confondre les deux symétries :
- symétrie axiale : par rapport à une droite (un axe) ; elle correspond à un pliage ;
- symétrie centrale : par rapport à un point (un centre) ; elle correspond à un demi-tour.
3 - Construire le symétrique d'un point
Pour construire le symétrique d'un point $ A $ par rapport à un point $ O $, il faut placer le point $ A' $ aligné avec $ A $ et $ O $, tel que $ O $ soit au milieu de $ [AA'] $.
Avec la règle et le compas
- Tracer la demi-droite $ [AO) $.
- Avec le compas, reporter la longueur $ AO $ à partir de $ O $, de l'autre côté.
- Placer le point $ A' $ sur cette demi-droite tel que $ OA' = OA $.
Construire le symétrique d'un point
Construire le symétrique $ B' $ du point $ B $ par rapport au point $ O $.
Étape 1 : Tracer la demi-droite $ [BO) $.
Étape 2 : Avec le compas, prendre l'écartement $ OB $, piquer en $ O $ et reporter cet écartement de l'autre côté pour obtenir le point $ B' $.
Étape 3 : Vérifier que $ B $, $ O $, $ B' $ sont alignés et que $ OB = OB' $.
Remarque
Sur une feuille quadrillée, on peut aussi compter les carreaux. Si, pour aller de $ A $ à $ O $, on se déplace de $ 3 $ carreaux vers la droite et $ 2 $ carreaux vers le haut, alors pour aller de $ O $ à $ A' $, on se déplace de $ 3 $ carreaux vers la droite et $ 2 $ carreaux vers le haut (on continue dans la même direction).
4 - Propriétés de la symétrie centrale
Conservation des longueurs
Le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment de même longueur.
On dit que la symétrie centrale conserve les longueurs.
Utiliser la conservation des longueurs
Les segments $ [MN] $ et $ [M'N'] $ sont symétriques par rapport à un point $ O $. On sait que $ MN = 4{,}5 $ cm. La symétrie centrale conserve les longueurs, donc $ M'N' = MN = 4{,}5 $ cm.
Conservation des alignements et parallélisme
- Le symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite : la symétrie centrale conserve l'alignement.
- Si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors elles sont parallèles.
Deux droites symétriques sont parallèles
Les droites $ (d) $ et $ (d') $ sont symétriques par rapport au point $ O $. Par la propriété ci-dessus, les droites $ (d) $ et $ (d') $ sont parallèles.
Conservation des angles, des périmètres et des aires
Deux figures symétriques par rapport à un point ont la même forme. La symétrie centrale conserve :
- les mesures des angles ;
- les périmètres ;
- les aires.
Deux triangles symétriques
Le triangle $ A'B'C' $ est le symétrique du triangle $ ABC $ par rapport à un point $ O $. On sait que le triangle $ ABC $ a pour côtés $ AB = 5 $ cm, $ BC = 4 $ cm, $ AC = 3 $ cm et que l'angle $ \widehat{BAC} = 37° $.
La symétrie centrale conserve les longueurs et les angles, donc :
- $ A'B' = 5 $ cm, $ B'C' = 4 $ cm, $ A'C' = 3 $ cm ;
- $ \widehat{B'A'C'} = 37° $ ;
- le périmètre du triangle $ A'B'C' $ vaut $ 5 + 4 + 3 = 12 $ cm, comme celui de $ ABC $.
Remarque
La symétrie axiale possède les mêmes propriétés de conservation (longueurs, angles, périmètres, aires, alignement). En revanche, deux droites symétriques par rapport à une droite ne sont pas parallèles en général : c'est une spécificité de la symétrie centrale.
5 - Axes et centres de symétrie d'une figure
Certaines figures ont des propriétés de symétrie particulières : elles se superposent à elles-mêmes après un pliage ou un demi-tour.
Axe de symétrie d'une figure
Une droite $ (d) $ est un axe de symétrie d'une figure si le symétrique de cette figure par rapport à $ (d) $ est la figure elle-même.
Centre de symétrie d'une figure
Un point $ O $ est un centre de symétrie d'une figure si le symétrique de cette figure par rapport à $ O $ est la figure elle-même.
Un parallélogramme a un centre de symétrie
Le point d'intersection des diagonales d'un parallélogramme est un centre de symétrie. En effet, en faisant un demi-tour autour de ce point, chaque sommet vient prendre la place du sommet opposé, et la figure se superpose à elle-même.
Le rectangle
Un rectangle possède :
- $ 2 $ axes de symétrie (les médiatrices des côtés) ;
- $ 1 $ centre de symétrie (le point d'intersection des diagonales).
Attention
Une figure peut avoir plusieurs axes de symétrie mais au plus un centre de symétrie. Certaines figures n'ont aucun axe ni aucun centre (un triangle scalène, par exemple).
Les questions essentielles
1. Comment construire le symétrique d'un point par rapport à un point ?
Tracer la demi-droite passant par le point et le centre, puis reporter au compas la même distance de l'autre côté du centre. Le centre doit être le milieu du segment formé par le point et son symétrique.
Voir la fiche méthode : Construire le symétrique d'un point par une symétrie centrale
2. Comment construire le symétrique d'une figure par rapport à un point ?
Construire un par un le symétrique de chaque sommet de la figure, puis relier les sommets images dans le même ordre. Pour un cercle, construire le symétrique du centre et conserver le rayon.
Voir la fiche méthode : Construire le symétrique d'une figure par une symétrie centrale
3. Comment utiliser les propriétés de la symétrie centrale dans un calcul ?
Identifier la propriété adaptée : conservation des longueurs pour un segment, conservation des angles pour une mesure, conservation de l'aire et du périmètre pour une figure, parallélisme pour deux droites symétriques.
Voir la fiche méthode : Utiliser les propriétés de la symétrie centrale
4. Comment reconnaître un axe ou un centre de symétrie d'une figure ?
Pour un axe, imaginer un pliage le long de la droite : la figure doit se superposer à elle-même. Pour un centre, imaginer un demi-tour autour du point : la figure doit retomber exactement sur elle-même.
Voir la fiche méthode : Reconnaître un axe ou un centre de symétrie d'une figure