Reconnaître un axe ou un centre de symétrie d’une figure
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Une figure peut avoir des axes de symétrie, un centre de symétrie, les deux à la fois, ou aucun des deux.
- Pour un axe de symétrie : imaginer un pliage le long d'une droite. Si la figure se superpose à elle-même après le pliage, cette droite est un axe de symétrie.
- Pour un centre de symétrie : imaginer un demi-tour autour d'un point. Si la figure retombe exactement sur elle-même, ce point est un centre de symétrie.
Remarque
Le centre de symétrie, quand il existe, se trouve toujours à l'intérieur ou au « centre » de la figure. Pour un polygone régulier, le centre de symétrie coïncide souvent avec le centre géométrique.
Exemples
Axes et centre d'un rectangle
Chercher les axes et le centre de symétrie d'un rectangle $ ABCD $ qui n'est pas un carré.
Étape 1 : Tester les axes possibles. Les deux médiatrices des côtés opposés plient bien le rectangle en deux parties qui se superposent. Il y a donc $ 2 $ axes de symétrie.
Étape 2 : Les diagonales ne sont pas des axes de symétrie (sauf si le rectangle est un carré) : par pliage le long de $ (AC) $, le point $ B $ ne se superpose pas avec $ D $.
Étape 3 : Tester le centre. Le point d'intersection des diagonales est le centre. Par un demi-tour autour de ce point, chaque sommet vient à la place du sommet opposé : c'est bien un centre de symétrie.
Un rectangle a donc $ 2 $ axes de symétrie et $ 1 $ centre de symétrie.
Axes et centre d'un carré
Chercher les axes et le centre de symétrie d'un carré.
Étape 1 : Le carré est un rectangle particulier, donc il possède déjà $ 2 $ axes (les médiatrices des côtés).
Étape 2 : Le carré a en plus ses deux diagonales comme axes de symétrie : par pliage le long d'une diagonale, les deux moitiés se superposent.
Étape 3 : Le point d'intersection des diagonales est le centre de symétrie.
Un carré a donc $ 4 $ axes de symétrie et $ 1 $ centre de symétrie.
Parallélogramme non particulier
Chercher les axes et le centre de symétrie d'un parallélogramme qui n'est ni un rectangle ni un losange.
Étape 1 : Tester les axes : aucune droite ne plie un parallélogramme quelconque en deux parties superposables. Il n'a donc aucun axe de symétrie.
Étape 2 : Le point d'intersection des diagonales est un centre de symétrie : un demi-tour autour de ce point remet la figure sur elle-même.
Un parallélogramme quelconque a donc $ 0 $ axe de symétrie et $ 1 $ centre de symétrie.
Triangle équilatéral
Chercher les axes et le centre de symétrie d'un triangle équilatéral.
Étape 1 : Chacune des $ 3 $ médiatrices (qui sont aussi hauteurs et médianes) est un axe de symétrie.
Étape 2 : Aucun point ne convient comme centre : par un demi-tour, le triangle est retourné et ne se superpose pas à lui-même.
Un triangle équilatéral a donc $ 3 $ axes de symétrie et $ 0 $ centre de symétrie.
Attention
Une figure peut avoir plusieurs axes de symétrie, mais au plus un centre de symétrie.
Les triangles (équilatéral, isocèle) ont des axes de symétrie mais aucun centre. À l'inverse, un parallélogramme quelconque a un centre mais aucun axe. Le cercle est le seul à avoir une infinité d'axes (tous ses diamètres) et un centre (son centre).