Construire le symétrique d’une figure par une symétrie centrale
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Pour construire le symétrique d'une figure par rapport à un point $ O $, on construit le symétrique de chaque point important de la figure, puis on relie les points images dans le même ordre.
- Repérer les points clés de la figure : sommets d'un polygone, extrémités d'un segment, centre d'un cercle.
- Construire le symétrique de chaque point par rapport à $ O $ (méthode : demi-droite + compas).
- Relier les symétriques dans le même ordre pour reconstituer la figure.
Remarque
Pour un cercle, il suffit de construire le symétrique de son centre : le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon dont le centre est le symétrique du centre initial.
Exemples
Symétrique d'un triangle
On donne un triangle $ EFG $ et un point $ O $. Construire le triangle $ E'F'G' $ symétrique de $ EFG $ par rapport à $ O $.
Étape 1 : Tracer la demi-droite $ [EO) $. Avec le compas, reporter la longueur $ OE $ à partir de $ O $ de l'autre côté. On obtient $ E' $.
Étape 2 : Tracer la demi-droite $ [FO) $. Avec le compas, reporter la longueur $ OF $ à partir de $ O $ de l'autre côté. On obtient $ F' $.
Étape 3 : Tracer la demi-droite $ [GO) $. Avec le compas, reporter la longueur $ OG $ à partir de $ O $ de l'autre côté. On obtient $ G' $.
Étape 4 : Relier les points $ E' $, $ F' $ et $ G' $ dans cet ordre pour obtenir le triangle image.
Symétrique d'un cercle
On donne un cercle $ \mathcal{C} $ de centre $ I $ et de rayon $ 2 $ cm, et un point $ O $ extérieur au cercle. Construire le cercle $ \mathcal{C}' $ symétrique de $ \mathcal{C} $ par rapport à $ O $.
Étape 1 : Construire le symétrique $ I' $ du centre $ I $ par rapport à $ O $ (demi-droite $ [IO) $ + compas).
Étape 2 : Tracer le cercle $ \mathcal{C}' $ de centre $ I' $ et de rayon $ 2 $ cm : c'est le cercle symétrique, qui a le même rayon que $ \mathcal{C} $.
Symétrique d'un segment
Construire le symétrique du segment $ [MN] $ par rapport au point $ O $.
Étape 1 : Construire le symétrique $ M' $ du point $ M $ par rapport à $ O $.
Étape 2 : Construire le symétrique $ N' $ du point $ N $ par rapport à $ O $.
Étape 3 : Tracer le segment $ [M'N'] $. Il est parallèle à $ [MN] $ et a la même longueur que $ [MN] $.
Attention
Bien relier les points dans le même ordre que la figure de départ. Si on mélange les sommets, on n'obtient pas le symétrique mais une figure différente.
Pour un polygone, penser à construire le symétrique de chaque sommet avant de tracer les côtés.